10.2 Теорема Вариньона для моментов силы относительно оси.

Если данная система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно любой оси равен сумме моментов сил системы относительно той же оси.

(10.3)

10.3 Аналитические формулы для моментов силы относительно координатных осей.

Воспользуемся формулой (5.2) для вычисления векторного момента силы относительно центра О:

(10.4)

где х, у, z – проекции на координатные оси, а - проекции силы на эти же оси.

В проекциях на координатные оси формулу (5.2) можно представить следующим образом:

(10.5)

если сравнить (10.4) и (10.5), то получим, что

(10.6)

по этим формулам можно рассчитать моменты силы относительно координатных осей.

Рисунок 10.3

Рассмотрим пример (рисунок 10.3).

Разлагая силу на составляющие и , параллельные осям х и z, где ; , и применяя теорему Вариньона, получим:

;

;

.

10.4 Приведение пространственной системы сил к простейшему виду

Как было рассмотрено ранее (7.2) любая система сил проводится в общем случае к силе, равной главному вектору и приложенной в произвольном центру О, и к паре сил с моментом, равным главному моменту (рисунок 6.2 б). Найдем к какому простейшему виду может быть приведена произвольная пространственная система сил, не находящаяся в равновесии.

Вспомним теорему о параллельном переносе силы из точки А в точку В: (рисунок 10.4).

Рисунок 10.4

При переносе силы из точки А в точку В кроме силы появляется пара сил, вектор-момент которой , но в тоже самое время величина , т.е. при параллельном переносе силы из одной точки пространства в другую к силе необходимо добавить пару сил, вектор-момент которой равен вектору-моменту данной силы относительно точки, в которую она переносится.

Таким образом, результат приведения произвольной пространственной системы сил зависит от значений, которые у этой системы сил имеют главный вектор и главный момент .

1. если для данной системы сил , а , то она приводится к паре сил, момент которой равен и может быть вычислен по формулам:

(10.7)

; ; (10.8)

В этом случае значение от выбора центра О не зависит.

2. если для данной системы сил , а , то она приводится к равнодействующей, равной , линия действия которой проходит через центр О, в этом случае значение можно найти по формулам:

, (10.9)

где

(10.10)

3. если для данной системы сил , а , но , то эта система также приводится к равнодействующей, равной , но не проходящей через центр О. (рисунок 10.5)

рисунок 10.5

В этом случае пара сил , изображаемая вектором и сила лежат в одной плоскости. Если выбрать силы и по модулю равными силе , то получим, что силы и взаимно уравновесятся и система заменится одной равнодействующей , линия действия которой проходит через точку , где - (плечо пары). Этот случай будет иметь место для любой системы параллельных сил или сил, лежащих в одной плоскости, если главный вектор этой системы .

4. если для данной системы сил , , при этом вектор параллелен (рисунок 10.6 а), то это означает, что система сил приводится к совокупности силы и пары , лежащей в плоскости, перпендикулярной силе (рисунок 10.6 б). Такая совокупность силы и пары называется динамическим винтом, а прямая, вдоль которой направлен вектор , осью винта.

Рисунок 10.6

5. если для данной системы сил , , при этом вектор и не перпендикулярны друг другу и не параллельны, то такая система сил тоже приводится к динамическому винту, но ось винта не будет проходит через центр О.