29. Запишіть перетворення Лапласа у чому полягає його сутність?

Перетворення Лапласа - інтегральне перетворення, что зв'язує функцію F (s) комплексної змінної (зображення) з функцією f (x) дійсної змінної (оригінал). З його допомогою досліджуються властивості динамічних систем и розв'язуються диференціальні и інтегральні рівняння.

Коли система описується диференціальними і інтегральними рівняннями часто зручно скористатися перетворенням Лапласа для їх розрахунку. При цьому рівняння стають алгебраїчними. При цьому спрощено можна вважати ПЛ розкладанням сигналу на синусоїди та експоненти. Для дискретних сигналів ПЛ називається Z-перетворенням.

Суть перетворення Лапласа

  - Перетворення Фурье

Різних функцій речових переміщень часу t ПЛ ставлять у відповідність функції комплексного переміщення p і навпаки.

  - Перетворення Лапласа

р = σ + jω - оператор диференціювання

Зображення функції по Лапласа є комплексну площину, де по осі дійсних значень відкладено σ, по осі уявних значень - величини jω. При цьому кожна точка площини є величиною комплексною і може бути представлена ​​в алгебраїчній або полярної нотації. Для того, щоб знайти зображення по Лапласа, вихідний сигнал перемножують на різні експоненти e-σt. Якщо σ <0, то експоненти зростаючі (ліва напівплощина), якщо σ> 0, то права напівплощина. Для кожного з цих творів знаходять перетворення Фур'є і розташовують уздовж осі уявних значень. Верхня і нижня полуплоскости будуть дзеркальними, якщо вихідний сигнал представлений дійсної функціей.Перетворення Лапласа. Колі система опісується діференціальнімі и інтегральнімі рівняннямі часто Зручне скористати перетворенням Лапласа для їх розрахунку. При Авторитети рівняння стають алгебраїчнімі. При Авторитети спрощена можна вважаті ПЛ розкладанням сигналу на сінусоїді та експоненті. Для дискретних сігналів ПЛ назівається Z-перетворенням.

30. Запішіть Основні Властивості Перетворення Лапласса

Однією з особливостей перетворення Лапласа, які зумовили його широке розповсюдження в наукових і інженерних розрахунках, є те, що багатьом співвідношенням і операціям над оригіналам відповідають простіші співвідношення над їх зображеннями. Так, згортка двох функцій зводиться в просторі зображень до операції множення, а лінійні диференціальні рівняння стають алгебраїчними.

Абсолютная сходимость

Если интеграл Лапласа абсолютно сходится при σ=σ0, то есть существует предел

limb→∞∫0b|f(x)|e−σ0xdx=∫0∞|f(x)|e−σ0xdx,

nо он сходится абсолютно и равномерно для σ⩾σ0 и F(s) — аналитическая функция при σ⩾σ0  (σ=Res — вещественная часть комплексной переменной s).

Умножение изображений

f(x)g(0)+∫0xf(x−τ)g′(τ)dτ=sF(s)G(s).

Левая часть этого выражения называется интегралом Дюамеля, играющим важную роль в теории динамических систем.

Дифференцирование и интегрирование оригинала

Изображением по Лапласу первой производной от оригинала по аргументу является произведение изображения на аргумент последнего за вычетом оригинала в нуле справа:

L{f(n)(x)}=sn⋅F(s)−sn−1f(0+)−…−f(n−1)(0+).

Другие свойства

Линейность:

L{af(x)+bg(x)}=aF(s)+bG(s).

Умножение на число:

L{f(ax)}=1aF(sa).