Векторное произведение двух векторов.

Определение: Векторным произведением векторов a и b (обозначается [a,b] или ab) называется такой третий вектор с, который определяется следующими условиями:

1) модуль вектора с=аbsin( )

2) c перпендикулярен каждому из перемножаемых векторов са, сb,

3) тройка векторов (a,b,c) одинаково ориентирована с тройкой базисных векторов (i,j,k).

Свойства векторного произведения

1. Два вектора колинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору.

ab  [a,b]=

2. Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b (согласно определения).

[a,b]=S_пар.

3. Числовой множитель можно выносить за знак векторного произведения.

[a,b]= [a,b]=[a,b].

4. Векторное произведение двух векторов антикоммутативно, то есть если поменять местами сомножители, то векторное произведение изменит знак.

[a,b]= - [b,a].

5. Векторное произведение векторов дистрибутивно относительно суммы

[a+b,c]= [a,c] +[b,c].

Векторное произведение векторов в координатах.

Пусть в пространстве задана декартовая прямоугольная система R=={O,(i,j,k)}и относительно этой системы заданы векторы a=(a₁,a₂,a₃), b=(b₁,b₂,b₃), тогда

[a,b]=

Площадь треугольника

Векторное произведение позволяет вместе со скалярным произведением решать метрические задачи в плоскости. В качестве примера решим задачи о нахождение площади треугольника.

S_треуг=

Смешанное произведение трёх векторов.

Определение: Смешанным произведением трёх векторов a,b,с называется число, равное скалярному произведению векторного произведения первых двух векторов на третий.

(a,b,c)=([a,b],c)=(a,[b,c]).

Теорема.

Абсолютная величина смешанного произведения трёх векторов равна объёму параллелепипеда построенного на этих векторах.

Построим параллелепипед .

S_{параллелеп.}H=V.

Свойства.

1. (a,b,c)=0 тогда и только тогда, когда {a,b,c} компланарны.

2. Если поменять местами два соседних сомножителя, то смешанное произведение поменяет знак на противоположный.

(a,b,c)= -(b,c,a).

3.При круговой перестановке смешанное произведение не меняется.

(a,b,c)= (b,c,a)= (c,a,b)

(b,a,c)= (a,c,b)= (c,b,a).

4. Числовой множитель можно выносить за знак произведения.

(a,b,c)= (a,b,c).

5. Смешанное произведение векторов дистрибутивно

(a+b,c,d)= (a,c,d)+(b,c,d).

Вычисление смешанного произведения трёх векторов в координатах

Пусть в пространстве задана декартовая прямоугольная система R=={O,(i,j,k)}и относительно этой системы заданы векторы a=(a₁,a₂,a₃), b=(b₁,b₂,b₃), с=(с₁,с₂,с₃).

(a,b,c)=([a,b],c)

[a,b]=

с=(с₁,с₂,с₃).

(a,b,c)= .

То есть смешанное произведение это число, равное определителю, строки которого составлены из координатных строк векторов, входящих в смешанное произведение.

Смешанное произведение трёх векторов применяется для решения задач на вычисление объёмов многогранников.

Линейная комбинация векторов и разложение вектора по системе векторов.

Линейной комбинацией векторов с коэффициентами называется вектор , в этом случае говорят так же, что вектор разложен по системе векторов , а числа являются коэффициентами разложения.

Пример 1. Дана система векторов

,

,

,

.

Найти линейную комбинацию: .

Решение. 2·(2; 3; 6; -10)-(-2; 4; 0; -5)+3·(1; 5; -1; 3)+0·(-1; 2; -2; 3)=(4; 6; 12; -20)-(-2; 4; 0; -5)+(3; 15; -3; 9)+(0; 0; 0; 0)=(4+2+3+0; 6-4+15+0; 12-0-3+0; -20+5+9+0)=(9; 17; 9; -6)

Вектор разлагается по системе векторов , и коэффициентами разложения являются числа: λ₁=2; λ₂=-1; λ₃=3; λ₄=0.

С помощью векторов удобно записывать систему уравнений:

Введем в рассмотрение векторы-столбцы:

Тогда систему (1.1) можно записать так:

или

Если совокупность чисел является решением системы (1.2), то вектор разлагается по векторам , и коэффициентами разложения являются числа , т.е. справедливо соотношение: .

Таким образом, чтобы найти разложение вектора по системе векторов достаточно найти любое решение системы уравнений: .