3. Основные свойства определителя III-го порядка .
Ниже перечисленные свойства справедливы для определителя любого порядка, поэтому далее в формулировках мы не будем указывать порядок определителя.
1) определитель не меняет своего значения при замене всех его строк соответствующими столбцами;
2) при перестановке двух параллельных рядов определителя модуль определителя сохраняет прежнее значение, а знак меняется на противоположный;
3) определитель, у которого два параллельных ряда одинаковы, равен нулю;
4) общий множитель какого-либо ряда определителя можно выносить за знак определителя;
5) если все элементы какого-либо ряда равны нулю, то определитель равен нулю.
Решение систем линейных уравнений при помощи определителей.
Пусть дана система
линейных алгебраических уравнений вида
.
Данную систему можно
решить, используя понятие определителя.
Числа
–
коэффициенты системы,
–
свободные члены.
Такую систему, в которой свободные члены находятся в правых частях, будем называть стандартной.
Под решением системы
понимается всякая пара чисел
,
обращающая эту систему в тождество
(верное равенство).
Для нахождения
решений системы применим метод исключения
неизвестных. Умножим первое уравнение
системы на
,
а второе – на
.
Получим:
Сложим уравнения системы:
.
Аналогично найдем
.
Для этого умножим первое уравнение
системы на
,
а второе уравнение – на
и сложим. Получим:
.
Обратим внимание
на знаменатели двух этих дробей. Они
представляют собой разложение определителя
второго порядка. Введем обозначения
.
Введем также понятие дополнительных
определителей системы:
;
.
Определители
и
получаются из определителя системы
путем замены коэффициентов при указанном
неизвестном на соответствующие свободные
члены.
Используя введенные обозначения, формулы для решения системы примут вид:
Данные формулы называются формулами Крамера.
Существуют три случая:
1)
существует
единственное решение, которое может
быть найдено с помощью формул Крамера.
2)
и (или)
система
несовместна (не имеет решений).
3)
система имеет бесконечное множество
решений.
Пример: Решить систему методом Крамера:
Решение.
–
система
имеет единственное решение.
;
Тогда
получаем, что
;
.
Аналогичным способом можно решить систему трех уравнений с тремя неизвестными. Запишем такую систему в общем виде:
.
Записываем определители:
– главный определитель
системы;
;
;
–
дополнительные определители системы.
Если
,
то система имеет единственное решение,
которое определяется по формулам
Крамера:
.
Пример: Решить систему методом Крамера
Решение.
.
Матрицы. Действия над матрицами.
1. Основные понятия и определения
Определение: Матрицей называется прямоугольная таблица чисел
.
Числа, составляющие
матрицу, называются ее элементами. Если
в матрице
строк и
столбцов, то говорят, что порядок данной
матрицы
.
В нашем примере число строк матрицы
равно числу столбцов, такая матрица
называется квадратной.
Матрицы будем обозначать большими буквами латинского алфавита, а ее элементы малыми буквами.
Если число строк в
матрице
,
то такая матрица называется матрицей-
строкой. Например:
.
Если число столбцов
в матрице
,
то такая матрица называется матрицей-
столбцом. Например:
.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей.
Если в матрице
порядка
все
недиагональные элементы равны нулю, то
такая матрица называется диагональной.
Элементы
называются элементами главной диагонали
матрицы.
Матрица, у которой
все диагональные элементы равны единице,
называется единичной матрицей. Обозначают
единичную матрицу буквой
.
Две матрицы
и
называются равными, если число их строк
и столбцов равны, и если равны элементы,
стоящие на соответствующих местах в
этих матрицах:
.