5.3. Частные случаи канонических уравнений прямой в пространстве.

Мы уже отмечали, что одно или два из чисел в канонических уравнениях прямой в пространстве вида могут быть равны нулю. Тогда запись считается формальной (так как в знаменателях одной или двух дробей будут нули) и ее следует понимать как , где .

Давайте рассмотрим подробнее все эти частные случаи канонических уравнений прямой в пространстве.

Пусть , или , или , тогда канонические уравнения прямых имеют вид или или

В этих случаях в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве прямые лежат в плоскостях , или соответственно, которые параллельны координатным плоскостям Oyz, Oxz или Oxy соответственно (или совпадают с этими координатными плоскостями при , или ). На рисунке представлены примеры таких прямых.

При , или , или канонические уравнения прямых запишутся как или или соответственно.

В этих случаях прямые параллельны координатным осям Oz, Oy или Ox соответственно (или совпадают с этими осями при , или ). Действительно, направляющие векторы рассматриваемых прямых имеют координаты , или , или , очевидно, что они коллинеарны векторам , или , или соответственно, где - направляющие векторы координатных прямых. Посмотрите иллюстрации к этим частным случаям канонических уравнений прямой в пространстве.

Осталось для закрепления материала этого пункта рассмотреть решения примеров.

Пример. Напишите канонические уравнения координатных прямых Ox, Oy и Oz.

Решение. Направляющими векторами координатных прямых Ox, Oy и Oz являются координатные векторы и соответственно. Кроме этого, координатные прямые проходят через начало координат – через точку . Теперь мы можем записать канонические уравнения координатных прямых Ox, Oy и Oz, они имеют вид и соответственно.

Ответ. - канонические уравнения координатной прямой Ox, - канонические уравнения оси ординат Oy, - канонические уравнения оси аппликат.

Пример. Составьте канонические уравнения прямой, которая в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве проходит через точку и параллельна оси ординат Oy.

Решение. Так как прямая, канонические уравнения которой нам требуется составить, параллельна координатной оси Oy, то ее направляющим вектором является вектор . Тогда канонические уравнения этой прямой в пространстве имеют вид .

Ответ.

5.4. Канонические уравнения прямой проходящей через две заданные точки пространства.

Поставим задачу: написать канонические уравнения прямой, проходящей в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве через две несовпадающие точки и .

В качестве направляющего вектора заданной прямой можно принять вектор (если больше нравиться вектор , то можно взять его). По известным координатам точек М₁ и М₂ можно вычислить координаты вектора : . Теперь мы можем записать канонические уравнения прямой, так как знаем координаты точки прямой (в нашем случае даже координаты двух точек М₁ и М₂), и знаем координаты ее направляющего вектора. Таким образом, заданная прямая в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве определяется каноническими уравнениями вида или . Это и есть искомые канонические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки пространства.

Пример. Напишите канонические уравнения прямой, проходящей через две точки трехмерного пространства и .

Решение. Из условия имеем . Подставляем эти данные в канонические уравнения прямой, проходящей через две точки :

Если воспользоваться каноническими уравнениями прямой вида , то получаем .

Ответ. или