5. Канонические уравнения прямой в пространстве - теория, примеры, решение задач.

5.1. Канонические уравнения прямой в пространстве – описание и примеры.

Получим канонические уравнения прямой a в трехмерном пространстве.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz. Зададим в ней прямую. Выберем следующий способ задания прямой линии в пространстве: укажем точку, через которую проходит прямая a, и направляющий вектор прямой a. Будем считать, что точка лежит на прямой а и - направляющий вектор прямой а.

Очевидно, что множество точек трехмерного пространства определяет прямую а тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны.

Запишем необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов и в координатной форме. Для этого нам нужно знать координаты этих векторов. Координаты вектора нам известны из условия. Осталось вычислить координаты вектора - они равны разности соответствующих координат точек и , то есть, . Теперь записываем условие коллинеарности векторов и : , где - произвольное действительное число (при точки и совпадают, что нас тоже устраивает).

Если , то каждое уравнение системы можно разрешить относительно параметра и приравнять правые части:

Полученные уравнения вида в заданной прямоугольной системе координат Oxyz определяют прямую a. Уравнения есть канонические уравнения прямой в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz. Их также называют уравнениями прямой в пространстве в каноническом виде.

Запись вида очень удобна, поэтому ее используют даже когда одно или два из чисел равны нулю (все три числа одновременно не могут быть равными нулю, так как направляющий вектор всегда ненулевой по определению). В этих случаях запись считается условной (так как содержатся нули в знаменателях) и ее следует понимать как , где .

Обратите внимание на следующие важные факты:

• если известно, что прямая проходит как через точку пространства , так и через точку , то канонические уравнения этой прямой можно записать как , так и ;

• если - направляющий вектор прямой, то любой из векторов также является направляющим вектором данной прямой, следовательно, эта прямая в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве может быть определена как каноническими уравнениями прямой вида , так каноническими уравнениями прямой вида .

Приведем пару примеров канонических уравнений прямой в пространстве:

• , здесь ;

• , здесь .

5.2. Составление канонических уравнений прямой в пространстве.

Итак, канонические уравнения прямой в фиксированной прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве вида соответствуют прямой линии, которая проходит через точку , а направляющим вектором этой прямой является вектор . Таким образом, если нам известен вид канонических уравнений прямой в пространстве, то мы можем сразу записать координаты направляющего вектора этой прямой, а если известны координаты направляющего вектора прямой и координаты некоторой точки этой прямой, то мы сразу можем записать ее канонические уравнения.

Пример. Прямая в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве задана каноническими уравнениями прямой вида . Напишите координаты всех направляющих векторов этой прямой.

Решение. Числа, стоящие в знаменателях канонических уравнений прямой, являются соответствующими координатами направляющего вектора этой прямой, то есть, - один из направляющих векторов исходной прямой. Тогда множество всех направляющих векторов прямой можно задать как , где - параметр, принимающий любые действительные значения, кроме нуля.

Ответ.

Пример. Напишите канонические уравнения прямой, которая в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве проходит через точку , а направляющий вектор прямой имеет координаты .

Решение. Из условия имеем . То есть, у нас есть все данные, чтобы написать требуемые канонические уравнения прямой в пространстве. В нашем случае .

Ответ.