4. Параметрические уравнения прямой в пространстве - описание, примеры, решение задач.

4.1. Параметрические уравнения прямой в пространстве – описание и примеры.

Мы уже выводили параметрические уравнения прямой на плоскости, давайте получим параметрические уравнения прямой, которая задана в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz. Зададим в ней прямую a, указав направляющий вектор прямой и координаты некоторой точки прямой . От этих данных будем отталкиваться при составлении параметрических уравнений прямой в пространстве.

Пусть - произвольная точка трехмерного пространства. Если вычесть из координат точки М соответствующие координаты точки М₁, то мы получим координаты вектора , то есть, .

Очевидно, что множество точек определяет прямую а тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны.

Запишем необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов и : , где - некоторое действительное число. Полученное уравнение называется векторно-параметрическим уравнением прямой в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве. Векторно-параметрическое уравнение прямой в координатной форме имеет вид и представляет собой параметрические уравнения прямой a. Название "параметрические" не случайно, так как координаты всех точек прямой задаются с помощью параметра .

Приведем пример параметрических уравнений прямой в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве: . Здесь .

4.2. Составление параметрических уравнений прямой в пространстве.

Итак, параметрические уравнения прямой вида в фиксированной прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве соответствуют прямой, проходящей через точку , и имеющей направляющий вектор . Таким образом, по известным параметрическим уравнениям прямой мы можем сразу записать координаты направляющего вектора прямой, а по известным координатам направляющего вектора прямой и координатам некоторой точки прямой мы можем сразу составить параметрические уравнения этой прямой в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве.

Пример. Прямая в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве задана параметрическими уравнениями . Найдите координаты всех направляющих векторов этой прямой.

Решение. Перепишем исходные параметрические уравнения прямой в следующем виде . Коэффициенты перед параметром в параметрических уравнениях дают соответствующие координаты направляющего вектора прямой, то есть, - направляющий вектор заданной прямой. Тогда в силу коллинеарности всех направляющих векторов прямой, их координаты мы можем записать как .

Ответ.

Пример. Напишите параметрические уравнения прямой, если в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве - ее направляющий вектор, а - лежащая на прямой точка.

Решение. Из условия имеем . Подставляем эти данные, в параметрические уравнения прямой вида :

Ответ. - искомые параметрические уравнения прямой в пространстве.

Мы рассмотрели простейшие задачи на составление параметрических уравнений прямой в пространстве. В более сложных задачах сначала приходится находить координаты направляющего вектора прямой или координаты некоторой точки прямой и только после этого записывать параметрические уравнения прямой.

Обговорим еще некоторые моменты. При любом значении параметра по параметрическим уравнениям прямой мы можем вычислить тройку чисел , она будет соответствовать некоторой лежащей на прямой точке. Например, координаты точки находятся из параметрических уравнений прямой в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве вида при :

Пример. Лежат ли точки и на прямой, заданной в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве параметрическими уравнениями прямой вида .

Решение. Подставим координаты точки М₁ в заданные параметрические уравнения прямой: . Таким образом, значению параметра соответствует точка , то есть, она лежит на прямой.

Проводим такую же процедуру с координатами точки N₁: . При этом видно, что не существует такого значения параметра , при котором параметрические уравнения прямой давали бы координаты точки . Иными словами, точка не лежит на прямой.

Ответ. Точка M₁ лежит на прямой, а N₁ – не лежит.

Следует также отметить, что если точки и лежат на прямой а, то прямую в заданной прямоугольной системе координат Oxyz можно определить как параметрическими уравнениями вида , так и параметрическими уравнениями прямой вида . Приведем пример. Пусть - направляющий вектора прямой а, точки и лежат на прямой а, тогда параметрические уравнения этой прямой можно составить как или как .

Обратите внимание еще на один факт: если - направляющий вектор прямой a в прямоугольной системе координат Oxyz, то направляющим вектором прямой а также является любой из векторов . Следовательно, прямую а можно задать параметрическими уравнениями прямой вида или . Пусть, к примеру, прямая задана параметрическими уравнениями прямой в пространстве вида . Очевидно, что - направляющий вектор этой прямой. Тогда любой из векторов также является направляющим вектором этой прямой. Для определенности возьмем вектор , соответствующий значению . При этом параметрические уравнения прямой примут вид .