2.4. Канонические уравнения прямой в пространстве.

Разрешив каждое из параметрических уравнений прямой вида относительно параметра , легко перейти к каноническим уравнениям прямой в пространстве вида .

Канонические уравнения прямой в пространстве определяют прямую, проходящую через точку , а направляющим вектором прямой является вектор . К примеру, уравнения прямой в каноническом виде соответствуют прямой, проходящей через точку пространства с координатами , направляющий вектор этой прямой имеет координаты .

Следует отметить, что одно или два из чисел в канонических уравнениях прямой могут быть равны нулю (все три числа одновременно не могут быть равны нулю, так как направляющий вектор прямой не может быть нулевым). Тогда запись вида считается формальной (так как в знаменателях одной или двух дробей будут нули) и ее следует понимать как , где .

Если одно из чисел в канонических уравнениях прямой равно нулю, то прямая лежит в одной из координатных плоскостей, либо в плоскости ей параллельной. Если два из чисел равны нулю, то прямая либо совпадает с одной из координатных осей, либо параллельна ей. Например прямая, соответствующая каноническим уравнениям прямой в пространстве вида , лежит в плоскости z=-2, которая параллельна координатной плоскости Oxy, а координатная ось Oy определяется каноническими уравнениями .

3. Уравнения прямой в пространстве - это уравнения двух пересекающихся плоскостей.

3.1. Уравнения двух плоскостей, задающих прямую линию в пространстве.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz и пусть даны две пересекающиеся и несовпадающие плоскости и . Так как любую плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz определяет общее уравнение плоскости вида при некотором наборе значений А, В, С и D, то будем считать, что плоскостям и соответствуют уравнения и . Тогда - нормальный вектор плоскости , а - нормальный вектор плоскости . Эти векторы не коллинеарны, так как плоскости и не совпадают и не параллельны. На языке математики это условие запишется как . Обозначим буквой a прямую, по которой пересекаются плоскости и , то есть, .

Прямая а представляет собой множество всех общих точек плоскостей и . Следовательно, координаты любой точки прямой a удовлетворяют одновременно и уравнению и уравнению , то есть, являются частным решением системы уравнений . Тогда общее решение системы линейных уравнений вида определяет координаты каждой точки прямой, по которой пересекаются плоскости и , а значит, определяет прямую a в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве.

Приведем пример прямой в пространстве, которая задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей.

Очевидно, что координатная прямая Ox является прямой, по которой пересекаются координатные плоскости Oxy и Oxz. Плоскость Oxy задается уравнением z = 0, а плоскость Oxz уравнением y = 0. Таким образом, координатная прямая Ox в прямоугольной системе координат Oxyz определяется системой из двух уравнений следующего вида .