1.2. Гармонические колебания (4 часа).
Гармонические колебания — колебания, при которых физическая (или любая другая) величина изменяется с течением времени по синусоидальному или косинусоидальному закону.
Гармоническими являются колебания, которые происходят под действием силы, пропорциональной смещению колеблющейся точки и направленной противоположно этому смещению.
или
,
где х —
смещение (отклонение) колеблющейся
точки от положения равновесия в момент
времени t; А —
амплитуда колебаний, это величина,
определяющая максимальное отклонение
колеблющейся точки от положения
равновесия; ω —
циклическая частота, величина, показывающая
число полных колебаний происходящих в
течение 2π секунд;
—
полная фаза колебаний,
—
начальная фаза колебаний.
Виды колебаний
Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия. Чтобы свободные колебания были гармоническими, необходимо, чтобы колебательная система была линейной (описывалась линейными уравнениями движения), и в ней отсутствовала диссипация энергии (последняя вызвала бы затухание).
Вынужденные колебания совершаются под воздействием внешней периодической силы. Чтобы они были гармоническими, достаточно, чтобы колебательная система была линейной (описывалась линейными уравнениями движения), а внешняя сила сама менялась со временем как гармоническое колебание (то есть чтобы зависимость от времени этой силы была синусоидальной).
Графиком гармонического колебания является синусоида (или косинусоида). По графику колебаний можно определить все характеристики колебательного движения.
Уравнение гармонического колебания
Уравнение гармонического колебания устанавливает зависимость координаты тела от времени
График
косинуса в начальный момент имеет
максимальное значение, а график синуса
имеет в начальный момент нулевое
значение. Если колебание начинают
исследовать из положения равновесия,
то колебание будет повторять синусоиду.
Если колебание начинают рассматривать
из положения максимального отклонения,
то колебание опишет косинус. Или такое
колебание можно описать формулой синуса
с начальной фазой
.
1.3. Преобразование графиков тригонометрических функций y=ksinx, y=sinax, y=sin(x+900) (10 часов).
Графики функций y = sin ax, y = sin (x + a), y=k sin x.
Задания:
1. Изучить материал по данной теме.
2. Построить графики функций y=4 sin x, y = sin 3x, y = sin (x + 2) в разных системах координат на листах формата А4, начертив на них предварительно сетку карандашом.
3. Описать процесс построения каждого графика.
1.4. Вычисление предела последовательности (6 часов).
1. Вычислить предел числовой последовательности:
Решение
2. Вычислить предел числовой последовательности:
Решение
3. Вычислить предел числовой последовательности:
Решение
4. Вычислить предел числовой последовательности:
Решение
5. Вычислить предел числовой последовательности:
Решение
6. Вычислить предел числовой последовательности:
Решение
7. Вычислить предел числовой последовательности:
Решение
8. Вычислить предел числовой последовательности:
Решение
9. Вычислить предел числовой последовательности:
Решение
10. Вычислить предел числовой последовательности:
Решение
11. Вычислить предел числовой последовательности:
Решение
Примеры на вычисление пределов с пояснениями
1)
2)
3)
4)
5)
Решение.
1) Из числителя и знаменателя выделяем множитель, который вносит наибольший вклад и сокращаем на него
2) В такого типа примерах нужно вынести в знаменателе из-под корня множитель в наибольшей степени
3) Надо раскладывать до наибольшего общего факториала
4) В данном примере
растет
значительно быстрее
поэтому
его выделяем как самый
множитель
5) Величины
и
стремятся
к нулю при
.
На основе этого вычисляем предел
Решения большинства подобных примеров заключается в нахождении доминирующего множителя. Если он в числителе, то граница направляется к бесконечности, в знаменателе - к нулю. И только когда и там и там можно сократить на этот множитель дробь и получить предел в виде константы.
Задание:
1. Разобрать решения рассмотренных примеров
2. Вычислить следующие пределы:
1)
2)
3)
4)
