5. Уравнение плоскости в отрезках - описание, примеры, решение задач.

5.1. Уравнение плоскости в отрезках – описание и примеры.

Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная система координат Oxyz.

В прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве уравнение вида , где a, b и c – отличные от нуля действительные числа, называется уравнением плоскости в отрезках. Такое название не случайно. Абсолютные величины чисел a, b и c равны длинам отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осях Ox, Oy и Oz соответственно, считая от начала координат. Знак чисел a, b и c показывает, в каком направлении (положительном или отрицательном) откладываются отрезки на координатных осях. Действительно, координаты точек удовлетворяют уравнению плоскости в отрезках:

Посмотрите на рисунок, поясняющий этот момент.

Пример. В прямоугольной системе координат Oxyz плоскость проходит через точки на координатных осях и . Напишите уравнение этой плоскости в отрезках.

Решение. Заданная плоскость отсекает отрезок длиной 2 единицы в отрицательном направлении оси абсцисс, длиной - в положительном направлении оси ординат, длиной в отрицательном направлении оси аппликат, считая от начала координат. Таким образом, уравнение этой плоскости в отрезках имеет вид .

Ответ.

Из приведенной информации видно, что уравнение плоскости в отрезках очень удобно использовать при изображении плоскости на чертеже. Покажем это на примере.

Пример. Постройте плоскость, определенную в прямоугольной системе координат Oxy уравнением плоскости в отрезках .

Решение. Сначала изображаем координатные оси, обозначаем начало координат, задаем единичные отрезки на каждой оси. Отмечаем точку, удаленную на 5 единиц от начала координат в отрицательном направлении оси абсцисс, на 4 единицы в отрицательном направлении оси ординат и на 4 единицы в положительном направлении оси аппликат. Осталось соединить эти точки прямыми линиями. Плоскость полученного треугольника и есть плоскость, соответствующая заданному уравнению плоскости в отрезках .

Ответ.

Если же стоит задача изобразить на чертеже плоскость, заданную уравнением другого вида, то целесообразно сначала получить уравнение этой плоскости в отрезках, отметить точки и провести через них плоскость (построить треугольник, считая эти три точки его вершинами).

5.2. Приведение общего уравнения плоскости к уравнению плоскости в отрезках.

Пусть нам известно общее уравнение плоскости в пространстве и нам требуется получить уравнение этой плоскости в отрезках.

Эту задачу мы можем решить только тогда, когда плоскость пересекает каждую из координатных осей, причем НЕ в начале координат. Мы не сможем получить уравнение плоскости в отрезках, если плоскость совпадает с одной из координатных плоскостей, параллельна одной из координатных плоскостей, проходит через одну из координатных осей или параллельна одной из координатных осей. Другими словами, к уравнению в отрезках мы можем привести лишь полное уравнение плоскости, то есть, уравнение при .

Опишем процесс приведения полного общего уравнения плоскости к уравнению плоскости в отрезках.

• Слагаемое D переносим в правую часть уравнения с противоположным знаком .

• Так как , то обе части полученного уравнения можно разделить на –D: .

• Осталось выполнить последний шаг. Так как , то коэффициенты перед переменными x, y и z можно отправить в знаменатели, то есть, последнее уравнение эквивалентно равенству . При этом мы использовали очевидное равенство .

Полученное уравнение и есть уравнение плоскости в отрезках. Это хорошо видно, если обозначить .

Пример. В прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве плоскость задана уравнением . Получите уравнение этой плоскости в отрезках.

Решение. Исходное уравнение является общим полным уравнением плоскости, поэтому его можно привести к уравнению плоскости в отрезках. Перенесем -6 в правую часть . Разделим обе части полученного равенства на шесть: . Отправляем коэффициенты при переменных x, y и z в знаменатели: . Так мы получили требуемое уравнение плоскости в отрезках.

Ответ.