Интерполяционный полином Лагранжа.
Более удовлетворительный способ построения полинома состоит в использовании базиса так называемых лагранжевых полиномов
Пусть функция f(x) задана таблично. Это могут быть, например, значения концентраций продуктов реакции в зависимости от времени, полученные экспериментально.
Значения x0,x1,..., xn называются узлами таблицы. Считаем, что узлы в общем случае не являются равноотстоящими (шаг таблицы неравномерный).
Построим интерполяционный многочлен на отрезке [x0,xn]. Запишем искомый многочлен в виде:
Pm(x)=a0 +a1x + a2x2 +. . . + amxm .
Геометрически задача интерполирования сводится к построению кривой через заданные точки.
Аналитически задача сводится к решению системы уравнений
Для определения коэффициентов многочлена Pn(x) необходимо располагать n+1 узловой точкой.
Пусть в n+1-ой точках x0, x1,..., xn определены значения y0, y1,..., yn.
Требуется построить многочлен Pn(x), принимающий в узловых точках заданные значения yi, т.е. такой, что
Pn(xi) = yi i= 0,1, ...,n.
Лагранж предложил следующую форму интерполяционного полинома
,
где Li(x) - множитель Лагранжа, имеющий вид:
Следовательно, формулу Лагранжа можно представить в виде:
Числитель и знаменатель не должны включать в себя значения x =xi, так как результат будет равен нулю.
В развернутом виде формулу Лагранжа можно записать:
Пусть дана таблица значений
-
х
х1
х2
х3
............
хп
у
у1
у2
у3
............
уп
Требуется составить полином (функцию) y = f (x) степени m ≤ n – 1, который принимал бы заданные значения yi при соответствующих значениях xi: yi = f (xi) (i = 1, 2, 3, ………n). Иными словами график функции должен проходить через заданные точки M (xi; yi)
Данная задача выполнима при использовании интерполяционного полинома Лагранжа:
+
+......
.+
(1)
или
(2)
где
-
вспомогательная функция п-й степени,
в которой xi
– заданные табличные значения
аргумента.
Пример 2.1
Составить полином Лагранжа, удовлетворяющий таблице значений
х |
1 |
2 |
3 |
4 |
у |
2 |
3 |
4 |
5 |
Решение.
Вспомогательная функция
Вычислим
последовательно
при данных значениях х:
= (х - 2)(х - 3)(х - 4)+(х - 1)(х - 3)(х - 4)+(х - 1)(х - 2)(х - 4)+(х - 1)(х - 2)(х - 3);
,
,
,
.
Тогда по формуле (1)
=
= х + 1
Таким образом, в данном случае в качестве интерполяционного полинома найдена линейная функция f (x) = х + 1.
Пример 2.2. Для функции y=sinp x построить интерполяционный полином Лагранжа, выбрав узлы x0, x1, x2.
X |
0 |
|
|
Y |
0 |
|
1 |
Решение.
Применяя формулу Лагранжа, получим
Пример 2.3. Дана таблица значений теплоёмкости вещества в зависимости от температуры Cp =f(T).
Вычислить теплоёмкость в точкеТ=450 К.
Для решения воспользуемся формулой Лагранжа.
Решение
Значение теплоемкости при температуре 450 К получим:
