6.2. Статистическая физика и термодинамика

1. Используя вероятностное распределение Максвелла по скоростям для частиц в идеальном газе, определить среднеквадратичную скорость.

Распределение Максвелла:

,

среднеквадратичная скорость ищется на основе общей формулы (раздел 2.4) для вычисления средних величин по распределению как:

.

Ответ:

2. Используя вероятностное распределение Максвелла концентрации по скоростям для частиц в идеальном газе, определить средний модуль скорости.

Распределение Максвелла:

,

n — концентрация частиц; m — масса частицы; k — постоянная Больцмана; Т — абсолютная температура.

Средний модуль скорости ищется как

.

Ответ: .

3. Используя формулу Саха, построить зависимость степени ионизации газа в зависимости от температуры. Потенциал ионизации и полная концентрация частиц до ионизации заданы.

Формула Саха:

x — степень ионизации; n — полная концентрация частиц до ионизации; , ,  — степень вырожденности дляэлектронов, ионов, нейтральных частиц, соответственно; , ;  — масса электрона; k — постоянная Больцмана; h — постоянная Планка;  — потенциал ионизации в эВ; Т — абсолютная температура.

6.3. Теория столкновений

1. Найти длину свободного пробега (λ) молекул в азоте (диаметр молекулы м) и хлоре ( м) при нормальных условиях.

,  — сечение взаимодействия, в нашем случае .

2. Воздух при нормальных условиях. Найти и построить зависимость частоты столкновений от давления (1, 5, 10 атм). Массу молекулы воздуха взять равной кг.

3. Воздух при нормальных условиях. Найти и построить зависимость частоты столкновений от температуры (300,500,1000 К). Массу молекулы воздуха взять равной кг

4. Свободный электрон движется в кислородно-азотной смеси ( ), находящейся в нормальных условиях. Сечения взаимодействия компонентов смеси с электроном см² и см², соответственно. Найти:

1) частоту столкновения электрона с О₂ и N₂.

2) длину свободного пробега электрона в смеси.

5. Воздух находится при давлении 10 атм и температуре 300 К. Оценить среднее расстояние между частицами.

6. Воздух находится при давлении 10 атм и температуре 300 К. Оценить длину свободного пробега, если сечение взаимодействия равно м².

Указания к решению задач. 2–3 — применить выражения для среднеквадратичной скорости частиц в газе и выражение частоты столкновений через скорость и длину свободного пробега; 4 — применить соотношения для длины свободного пробега и частоты столкновений частиц в смесях (раздел 3.3); 5 — выразить искомое расстояние из концентрации из соображений размерности; 6 — использовать выражение длины свободного пробега через сечение столкновения.

6.4. Механика сплошной среды

1. Применима ли модель механики сплошной среды при расчете движения солнечного ветра от Солнца к Земле, если концентрация частиц в межпланетном пространстве см^-3? Расстояние между Землей и Солнцем 149 млн.км.

2. В воздухе, разряженном до давления Па при К за время с, формируется электрический пробой. Можно ли анализировать данный процесс на стадии формирования разряда в предположении локального термодинамического равновесия? Среднюю массу молекулы для воздуха принять равной кг.

3. Применима ли модель механики сплошной среды при расчете сопротивления движению космической межпланетной станции размером 100м в туманности с концентрацией частиц см^-3?

4. Скорость течения воды в выходном отверстии воронки площадью S равна . Найти скорость течения на входном отверстии, равном 10 S. Воду считать несжимаемой жидкостью, скорости на входном и выходном отверстиях равномерно распределены по их сечению.

5. В бесконечном объеме несжимаемой жидкости расширяется длинная цилиндрическая полость. Определить поле скорости радиального течения вне полости, если известен закон ее расширения:

6. В бесконечном объеме несжимаемой жидкости расширяется сферическая полость. Определить поле скоростей , если известен закон изменения радиуса сферы .

7. Погруженная в идеальную несжимаемую жидкость с , сфера расширяется по закону . Найти закон изменения давления внутри сферы.

8. Погруженная в идеальную несжимаемую жидкость сфера расширяется с постоянной скоростью 100 м/с. Найти разность давлений внутри и вне сферы, плотность жидкости 2 г/см³.

9. Показать, что вдоль струи потока несжимаемой жидкости справедливо следующее выражение

где ρ — плотность, v — скорость, P — давление.

10. Определить скорость вытекания газа из полости, если давление снаружи и плотность , в полости давление равно P.

11. Плита падает на воду с высоты 10 м. Рассчитать скачок воды давления в воде. Ударную волну считать слабой, то есть скорость ударной волны приблизительно равна скорости звука в воде:

м/с. кг/м³.

12. Ударная волна движется в воздухе со скоростью ( м/с), атм, кг/м³. Найти параметры среды (P, ρ, v) за фронтом ударной волны. Считать, что за ее фронтом давление и плотность связаны законом адиабаты, коэффициент .

13. Рассчитать полезную мощность электродугового нагревателя плазматрона, необходимую для создания струи горячего газа сечением S, при температуре T и скорости v. Рабочий газ водород масса атома кг, плотность кг/м³, скорость м/с, К, cм². Температура газа на входе К.

Указания к решению задач. 1–2 — применить критериальное соотношение между размером области движения и длины свободного пробега частиц; 4 — проинтегрировать стационарное уравнение неразрывности по объему, преобразуя объемный интеграл от дивергенции в поверхностный (теорема Гаусса); 5 — проинтегрировать уравнение неразрывности в цилиндрической системе координат по радиусу при постоянной плотности и найти связь скорости течения в произвольной точке со скоростью на границе полости; 6–7 — аналогично задаче 5, но с использованием сферической системы координат; 8 — применить уравнение Рэлея (раздел 4.5); 9 — проинтегрировать стационарное уравнение течения жидкости вдоль струи течения; 10–12 — использовать систему уравнений Рэнкина-Гюгонио; 13 — найти ответ как полный поток кинетической и внутренней энергии газа на срезе сопла рельсотрона, использовать выражение для кинетической и внутренней энергии газа на единицу массы.