6. Задачи и упражнения

6.1. Квантовая механика

1. Кинетическая энергия электрона равна 1 кэВ. Определить длину волны Де-Бройля.

2. Кинетическая энергия электрона равна 0,6 МэВ. Определить длину волны Де-Бройля.

3. Определить импульс и энергию электрона, если его длина волны Де-Бройля равна 1 ангстрем.

4. Определить, какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти протон, чтобы длина волны Де-Бройля у него была равна 1м.

5. Рассчитать и построить на графике зависимость длины волны Де-Бройля электрона от величины ускоряющей разности потенциалов, изменяющейся в интервале 20–100 В.

6. Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов 500 В имеет длину волны Де-Бройля м. Принимая заряд частицы равным заряду электрона, определить ее массу.

7. Энергия альфа-частиц, испускаемых радием равна эВ. Пользуясь соотношением неопределенностей, выяснить, при какой степени точности определения положения альфа-частицы еще можно пренебречь неопределенностью импульса по сравнению с самой величиной импульса. Приемлемой точностью считать 1 %, масса альфа-частицы 7360 масс электрона.

8. Электрон «заперт» в области с характерным размером 1 ангстрем. Какова должна быть минимальная энергия электрона, чтобы соотношение неопределенностей было удовлетворено? Выразить эту энергию в джоулях и электрон-вольтах.

9. Определить длину волны фотона, испускаемого при переходе электрона в одномерной потенциальной яме шириной 0,2 нм из состояния с в состояние с наименьшей энергией.

10. Электрон находится в одномерной потенциальной яме шириной с бесконечно высокими стенками. Определить вероятность обнаружения электрона в средней трети ямы, если электрон находится в возбужденном состоянии с .

11. Электрон находится в потенциальной яме шириной в основном состоянии. Найти вероятность пребывания электрона в пределах отрезка .

12. Найти среднее значение координаты электрона в потенциальной яме шириной l в основном состоянии.

13. Найти среднее значение импульса электрона, находящегося в потенциальной яме шириной l в основном состоянии.

14. С помощью оператора квадрата импульса найти среднее значение квадрата импульса частицы в потенциальной яме в основном состоянии.

15. Рассчитать и построить на графике зависимость коэффициента отражения потенциального барьера ступенчатой формы для случая, когда энергия частицы E больше высоты барьера , от отношения , которое изменяется в интервале 0–1.

16. Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину 0,1 нм. Разность между высотой потенциального барьера и энергией электрона эВ. Определить во сколько раз изменится коэффициент прозрачности барьера, если указанная разность возрастет в четыре раза.

17. Протон с энергией 5 эВ встречает на своем пути прямоугольный потенциальный барьер высотой 10 эВ и шириной 0,1 нм. Определить вероятность прохождения протоном этого барьера.

18. Найти коэффициент прозрачности прямоугольного потенциального барьера высотой 2 эВ и шириной 1 ангстрем при его взаимодействии с электроном, обладающим энергией 1эВ.

19. Рассчитать и построить на графике зависимость коэффициента прозрачности прямоугольного потенциального барьера от его ширины, которая может меняться в интервале 1–5 ангстрем для электрона при разности высоты барьера и энергии частицы равной 5 эВ.

20. Рассчитать и построить на графике зависимость коэффициента прозрачности потенциального барьера на границе металл–вакуум для электрона от величины внешнего электрического поля, изменяющегося в пределах В/м, работа выхода равна 1,5 эВ.

21. Потенциальный барьер имеет форму равнобедренного треугольника с основанием 1 ангстрем и высотой . Рассчитать и построить на графике зависимость коэффициента прозрачности барьера от отношения энергии частицы E к высоте барьера, если указанное отношение меняется в пределах от 0,1 до 1.

22. Определить энергию фотона, испускаемого при переходе электрона в атоме водорода с третьего энергетического уровня на второй.

23. Найти первый потенциал возбуждения атома водорода.

24. Найти нормировочную константу волновой функции атома водорода в 1s состоянии. Ответ: .

25. Определить вероятность обнаружения электрона в атоме водорода в основном (1s) состоянии внутри сферы ,  — радиус Бора.

26. Найти среднее значение радиуса орбиты электрона в атоме водорода в основном (1s) состоянии.

27. Найти среднее значение потенциальной энергии электрона в поле ядра в атоме водорода в 1s состоянии.

28. Найти среднее значение квадрата расстояния между электроном и протоном в атоме водорода в 1s состоянии.

29. Найти наиболее вероятное расстояние между электроном и ядром в атоме водорода в 1s состоянии.

30. Вывести правило отбора в атоме водорода для перехода из состояния с в состояние при напряженности электрического поля, направленной вдоль оси . Ответ: переход разрешен.

31. Исследовать предыдущую задачу при направлении электрического поля вдоль оси x. Ответ: переход запрещен.

Указания к решению задач: 1–6 — использовать формулу Де-Бройля и связь кинетической энергии частицы с ее импульсом; 7,8 — применить первое соотношение неопределенностей; 9 — применить выражение для энергии частицы в одномерной потенциальной яме и соотношение Де-Бройля; 10–14 — использовать выражения для волновой функции частицы в одномерной потенциальной яме, выражения для операторов импульса, квадрата импульса и формулы для вычисления средних значений операторов; 15 — применить соотношения для потенциального барьера ступенчатой формы; 16–19 — применить выражение для коэффициента прозрачности барьера прямоугольной формы; 20–21 — применить формулу для коэффициента прозрачности барьера произвольной формы; 22–23 — использовать формулу энергетического спектра электрона в атоме водорода; 24 — применить нормировочное соотношение для волновой функции в сферических координатах; 25 — применить интегрирование квадрата волновой функции электрона в основном состоянии 1,0,0 в сферических координатах; 26–29 — применить правило вычисления средних значений операторов в сферических координатах для волновой функции электрона в атоме водорода в основном состоянии 1,0,0; 30–31 — применить формулу для вычисления матричныx элементов ,