5.4. Теплообмен излучением

Тепловое излучение является электромагнитным излучением с длиной волны, относящейся к инфракрасной части спектра . Энергия, излучаемая поверхностью нагретого тела, является энергией электромагнитных волн. Тепловое излучение вносит существенный вклад в процессы теплообмена уже при температурах в несколько десятков градусов Цельсия. Тепловое излучение нагретых тел является одним из важнейших явлений, используемых при дистанционной диагностике высоковольтного электроэнергетического оборудования. Широкое распространение тепловизоров и пирометров для диагностики токоведущих и изоляцонных элементов электроэнергетического оборудования подтверждает это.

Всякое излучение есть электромагнитные колебания, распространяющиеся в пространстве. Электродинамическая модель излучения совпадает с релятивистским уравнением Шредингера, которое описывает движение квазичастиц — фотонов которые в соответствии с законом Планка обладают энергией . Уравнение Шредингера для фотонов, движущихся со скоростью света м/с, несколько отличается от описанного в разделе 1 и имеет вид

Исследуем закономерности теплового излучения с помощью модели фотонов, находящихся в полости в термодинамическом равновесии. Фотоны подчиняются статистике Бозе–Эйнштейна и при этом обладают двумя внутренними степенями свободы, поскольку у электромагнитной волны имеет место два типа поляризации.

Бозонная функция распределения (см. раздел 2.3)

была использована М. Планком в работе, где впервые было введено понятие кванта энергии (1900 г.). В согласии с экспериментом он нашел, что

где  — число фотонов, приходящихся на собственные колебания, или моды полости, частота которых равна ω. Здесь  — энергия светового колебания или состояния, занятого единственным фотоном. Термин фотон обозначает квант энергии электромагнитного поля. Распределение Планка в отличие от полученной нами бозонной функции распределения не содержит химического потенциала . Причина такого различия заключается в несохранении числа фотонов, тогда как при выводе функции распределения из основных принципов мы предполагали сохранение полного числа частиц в сумме системы и резервуара. В модели электромагнитное излучение в полости полное число фотонов в системе и резервуаре не сохраняется. Поэтому теперь не следует обращаться к изменению энтропии , при помощи которого мы первоначально вводили химический потенциал.

Найдем энергию излучения , приходящуюся на единичный интервал частоты вблизи некоторого значения

где  — число колебательных мод, приходящихся на единичный интервал частоты. Для того, что бы найти , обратимся к уравнению (85). Рассмотрим его решение в кубе с длиной ребра l. Запишем решение в традиционном для электромагнитных волн виде

Поскольку излучение заперто в ящике, то волновая функция ψ обращается в нуль на границах полости , , , , , . Подставим выражение для ψ в уравнение Шредингера (85)

О

Рис. 46. Пространство квантовых чисел фотонных мод

тсюда находим связь между частотой и квантовыми числами

где . Для плотности фотонных мод в пространстве квантовых чисел , , , применяя для них сферическую систему координат, найдем

где  — число внутренних степеней свободы фотона, множитель 1/8 присутствует, чтобы выделить положительный октант в пространстве квантовых чисел (рис. 46). Из (86) имеем

и .

Подставляя эти выражения в последнюю формулу для , получим

где  — объем полости. Таким образом, для спектральной плотности энергии имеем

Полученное выражение определяет энергию излучения, приходящуюся на единичный интервал частоты. Всю энергию излучения найдем как интеграл

Интеграл в правой части последнего выражения является табличным и равен . Поэтому получаем

Плотность энергии излучения в полости есть

Пусть в одной из стенок кубической полости имеется отверстие единичной площади. Найдем лучистый поток, испускаемый оттуда

где  — геометрический фактор, учитывающий, что фотоны покидают полость, двигаясь во всех направлениях, а не только по нормали к стенке. После подстановки выражения для получим

где  — постоянная Стефана–Больцмана.

Полученная формула выражает собой закон излучения абсолютно черного тела, т. е. рассмотренного нами случая, когда излучение находится в термодинамическом равновесии с оболочкой (телом), в которой оно заключено, поглощая при этом все излучение, попадающее на его поверхность.

Реальные тела могут отличаться от абсолютно черного тела. При этом лучистый поток с их поверхности сохраняет пропорциональность , но коэффициент пропорциональности может отличаться от . Поэтому закон излучения Стефана–Больцмана принято записывать в виде

, (87)

где  — коэффициент серости или степень черноты тела. Для многих диэлектрических материалов при нормальных условиях степень черноты близка к 1, однако существуют металлы и сплавы, для которой степень черноты измеряется сотыми и даже тысячными долями единицы. Отличие реальных тел от черного тела состоит в том, что для них доля поглощенного излучения меньше 1 и равна , соответственно доля отраженного излучения составит . Таким образом, мы может трактовать ε, как коэффициент поглощения излучения,  — как коэффициент отражения излучения.