Тепловое поле точечного источника в неограниченном пространстве

Расчетные формулы для поля температуры, создаваемого точечным источником энергии в неограниченном пространстве, полезны при оценке последствий аварийных ситуаций (коротких замыканий) в обмотках крупных магнитных систем, электрических машин и т. п. Кроме того знание закономерностей распространения тепла от источника малого размера может быть полезным при проведении диагностических мероприятий в крупном электроэнергетическом и электрофизическом оборудовании.

Пусть в некоторой точке неограниченного теплопроводящего пространства мгновенно выделяется энергия Q [Дж]. При этом, очевидно, поле температуры, создаваемое этим источником буде сферически симметрично относительно его положения. Поэтому при использовании сферической системы координат с центром в месте положения источника выражение для температуры имеет относительно простой вид:

Косвенно убедиться в справедливости приведенной формулы можно, если вычислить объемный интеграл от плотности теплосодержания

Ранее в разделе 2.4 мы получили формулу для интеграла

Дифференцируя левую и правую часть по , получим

Таким образом, имеем формулу для интеграла в правой части (83). В результате получим . Мы пришли к очевидному результату, что вся выделившаяся энергия в каждый момент времени распределена в пространстве, окружающем место выделения энергии. Если источник энергии располагается на поверхности неограниченного полупространства (рис. 45), тепловой поток на его поверхности равен нулю

Можно получить формулу для распределения температуры в этом случае на основе решения (75). Если в пространстве разместить два источника, расположенных симметрично относительно некоторой плоскости на расстоянии δ (рис. 45), то на этой плоскости будет выполнено условие (84). При , что соответствует расположению источника на поверхности полупространства, получаем

Если энерговыделение в точке происходит не мгновенно, а задано законом изменения мощности , то разбивая эту зависимость на малые участки (рис. 45), можно найти температурное поле, как суперпозицию откликов на отдельные, смещенные друг от относительно друга по времени мгновенные энерговыделения. При этом в (82) подставляется не абсолютное время t, а разность между моментом времени наблюдения и моментом энерговыделения :

Устремляя Δt к нулю, получим точную формулу

В качестве примера на рис. 45 построены распределения температуры в медном массиве при мгновенном энерговыделении 20 кДж.

Задачи для самоконтроля

Нестационарные задачи теплопроводности

1. Неограниченная пластина толщиной 1 см мгновенно нагревается до температуры 500⁰С. Снаружи пластины температура равна 0⁰С. Теплопроводность Вт/мК, теплоемкость кДж/(м³∙К), плотность 8000 кг/м³.

а) Рассчитать распределение температуры по толщине пластины при 50 мс и 500 мс.

б) Рассчитать и построить зависимость температуры в центре пластины от времени в диапазоне 0–10 с.

Указания к решению задачи — применить общую формулу для нестационарного теплового поля в пластине из раздела 5.3.

2. В обмотке магнитной системы в результате электрического пробоя возникла дуга с разностью потенциалов В и током  кА, которая горела в течении  с. Рассчитать и построить зависимость температуры от времени на расстоянии 8 см от места разряда для диапазона 10–200 с. Теплопроводность Вт/м/К, теплоемкость Дж/(м³∙К), плотность 6000 кг/м³.

Указания к решению задачи считая энерговыделение мгновенным применить формулу (75).