2.3. Квантовые статистические распределения

Из предыдущих разделов известно, что любая квантовая система предоставляет частицам, ее составляющим, занимать разрешенные квантовые состояния. Число и параметры этих состояний зависят от конкретного устройства системы и, в частности, от природы самих частиц. Поставим задачу вычисления средней заселенности некоторого квантового состояния, которое характеризуется энергией . Под средней заселенностью подразумевается среднее число частиц, обладающих указанной энергией.

Для подсчета средних значений будем использовать общий подход, который при расчете средней по ансамблю величины параметра, принимающего значение с вероятностью , сводится к формуле:

где суммирование ведется по всем возможным значениям индекса , т. е. с учетом всех возможных значений параметра . Формулу для вероятности состояния системы, состоящей из частиц, мы вывели в предыдущем разделе. Поэтому последнюю формулу можем переписать в виде

Как было установлено в разделе 1.6, все частицы подразделяются на два сорта — фермионы, на которые распространяется принцип запрета Паули, и бозоны, не подчиняющиеся принципу запрета. Очевидно, что результаты подсчета средней заселенности энергетического состояния для частиц разных типов будут различны.

Начнем с фермионов. Некоторое состояние может быть либо свободным, в этом случае ввиду отсутствия частицы и энергия равна нулю, либо занято одной частицей, при этом энергию частицы обозначим . В силу действия на фермионы принципа запрета, других вариантов заполнения состояния частицами не будет. Выпишем два этих варианта

Соответствующая сумма Гиббса будет равна

Средняя заселенность

Подставляя сюда найденное выражение для суммы Гиббса, после элементарных преобразований найдем среднюю по ансамблю заселенность состояния с энергией в системе фермионов

П

Рис. 15. Распределение Ферми–Дирака (1) и Бозе–Эйнштейна (2)

олученное выражение носит название распределение Ферми–Дирака. График зависимости <N> от энергии приведен на рис. 15. Обратим внимание на то, что при температуре , стремящейся к нулю, все состояния с энергией ниже некоторого уровня , оказываются заняты фермионами <N>=1, а заселенность состояний с равна нулю. Данное значение энергии называется энергией Ферми. С ростом температуры доля состояний с начинает расти, за счет снижения заселенности состояний с энергий меньшей энергии Ферми (рис. 15).

Рассмотрим теперь заселенность состояния с энергией в системе бозонов. Поскольку бозоны не ограничены принципом запрета, то система может содержать неограниченное число бозонов c энергией . Запишем значения энергии и числа частиц для различных состояний системы бозонов (табл. 2). Таким образом, если в системе пребывает бозонов, то ее энергия . Поэтому большая сумма Гиббса будет содержать бесконечное число слагаемых

где . При условии последняя сумма будет сходящейся как бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем меньшим 1 —  .

Таблица 2

Значения энергии u и числа частиц n для различных состояний системы бозонов

N	U
0	0
1	E
2	2E
3	3E
….	….

Для всех приложений величина , так как иначе число бозонов в системе нельзя было бы считать неограниченным из-за расходимости суммы, что не соответствовало бы свойствам, характерным для бозонов. Среднее значение заселенности найдем по правилу нахождения средних по ансамблю

Для вычисления суммы в числителе последнего выражения продифференцируем сумму Гиббса по :

Отсюда легко находим

Поскольку для суммы Гиббса аналитическое выражение нами было найдено, то

Для средней заселенности, таким образом, имеем

Полученное выражение носит название распределения Бозе–Эйнштейна. От полученного ранее распределения Ферми–Дирака эта формула отличается знаком перед единицей в знаменателе. График зависимости <N> от энергии бозона E построен на рис. 15.

Итак, мы получили формулы, для подсчета средней заселенности состояния с энергией для частиц, обладающих различными квантовыми свойствами (бозоны и фермионы). Рассмотрим другую задачу. Подсчитаем количество частиц, имеющих импульс, принадлежащий малому интервалу вблизи значения , , . Ранее в разделе 1.3 мы с помощью уравнении Шредингера рассмотрели одномерное движение частицы в потенциальной яме шириной . При этом был вычислен энергетический спектр частицы

Реальное движение частиц является трехмерным. Нетрудно на основе решения уравнения Шредингера показать, что если частица заперта в трехмерной кубической области с длиной ребра l, энергетический спектр рассчитывается по той же формуле, с той разницей, что

,

где , ,  — независимые квантовые целые числа, каждое из которых меняется как 1, 2,…∞. Выражение для проекций импульса на оси координат следуют из формулы :

,

,

,

Нетрудно видеть, что минимально возможная величина, на которую может изменяться проекция импульса на ось координат будет

Поэтому минимальный размер квантовой ячейки в пространстве импульсов составит

а количество ячеек в пространстве импульсов (состояний), приходящихся на единичный интервал изменения импульса, составит

Примем к сведению, что сама по себе частица может находиться в различных внутренних квантовых состояния, например, электрон имеет два внутренних собственных квантовых состояния со значением проекции спина ½ и –½. Если обозначить число внутренних квантовых состояний частицы как – внутренний фактор вырождения, то формулу для числа квантовых состояний, приходящихся на единичный интервал изменения импульса, следует переписать как

В этом разделе мы увидели, что не все состояния заселены частицами одинаково. Степень заселенности состояния вычисляется с помощью полученных выше функций распределения. Поэтому, составляя выражение для полного числа частиц, обладающих импульсом из малого интервала его изменения, мы должны умножить количество квантовых состояний, приходящихся на этот интервал, и на заселенность этих состояний. Для определения малой величины изменения импульса заметим, что в системах содержащих большое количество частиц, несмотря на то, что все характеристики движения частиц, включая импульс, образуют дискретный спектр значений, квант дискретизации весьма мал, по сравнению с самим значением того же импульса. Это позволяет пренебречь дискретностью и пользоваться математическими формулами и методами для непрерывных величин. Поэтому малый интервал изменения импульса можно записать в форме . Теперь запишем выражения для числа частиц, имеющих импульс из указанного малого интервала изменения

где знак «+» берется для фермионов, а «–» — для бозонов. Если в последней формуле перейти от полного числа частиц к расчету их в единице объема, то поделив (34) на объем , получим

Здесь величина  — число частиц, приходящееся на единицу объема.