2. Основы статистической физики равновесных состояний

2.1. Основные положения статистической физики

До сих пор мы главным образом изучали движение одной частицы. Это позволило выявить важные закономерности движения микрочастиц в характерных условиях, связанных, например, с ограничениями, создаваемыми кристаллической структурой твердого тела или при воздействии внешнего электромагнитного поля. Уравнение Шредингера, которое применялось при этом анализе, становится слишком сложным для решения, если речь идет о системе, содержащей большое число частиц. Поскольку реальные макроскопические объекты —  газы, жидкости и твердые тела — образуются как совокупности очень большого числа частиц. Напомним, что число частиц, содержащееся в одном моле вещества (число Авогадро) составляет N_A=6,02∙10²³. Если попытаться описать движение всех частиц, составляющих это количество вещества, используя уравнения классической механики, потребуется с учетом проекций уравнений на оси координат решать 6∙6,02∙10²³ уравнений. Система такого большого числа уравнений не может быть решена ни аналитически, ни с использованием компьютерной техники. Поэтому в теоретической физике, начиная с 19 века, возникло направление, называемое статистической физикой. Статистическая физика не ставит перед собой цель получить детальное описание движение каждой частицы, составляющей макроскопический объект. Задача статистической физики находить наиболее вероятные значения макроскопических параметров, такие, как, например энергия. Статистическая физика, анализируя многообразие состояний реальной системы, состоящей из большого числа частиц, находит средние значения параметров движения частиц и связанные с ними макроскопические параметры.

Рассмотрим основные положения, лежащие в основе статистической физики:

1. В общем случае макропараметры системы большого числа частиц квантуются, т. е. образуют дискретный набор. С ростом сложности квантовой системы, например, с увеличением числа частиц возрастает число квантовых состояний. В общем случае энергетические уровни вырождены. Степень вырождения некоторых уровней энергии в системе, содержащей большое число частиц, становится очень большой. Поэтому энергия именно таких уровней наблюдается в макросистеме с наибольшей частотой.

2. Все допустимые квантовой механикой квантовые состояния системы частиц являются равновероятными. Иными словами любая разрешенная комбинация квантовых чисел возникает в системе с одинаковой вероятностью. При этом для части этих комбинаций энергия системы оказывается одинаковой (вырождение).

3. Справедлива эргодическая гипотеза, предполагающая равенство временных и фазовых средних значений.

Для пояснения сути этого положения введем понятие статистического ансамбля. Статистическим ансамблем называется совокупность всех экземпляров одной и той же макросистемы, зафиксированных в одном из разрешенных квантовых состояний. Подчеркнем, что указанная совокупность охватывает все допустимые для системы квантовые состояния.

Таким образом, существует две принципиальные возможности определять средние значения макропараметров системы, например, энергии. Первая заключается в наблюдении системы в течение длительного отрезка времени, достаточного, чтобы система «пережила» каждое из допустимых для нее квантовых состояний, и усреднении наблюдаемых значений параметра (энергии) во времени. Таким путем определятся временные средние значения.

Второй путь заключается в том, чтобы не наблюдать систему в течение некоторого времени, а рассмотреть и подсчитать сразу все экземпляры системы, составляющие статистический ансамбль. То есть операция усреднения по времени заменяется усреднением по ансамблю. Результаты при этом будут одинаковыми. В статистической физике равновесных состояний используется усреднение по ансамблю.

Простейшей бытовой иллюстрацией двух разных подходов к вычислению средних может служить задача вычисления среднего значения номинала игральных карт, составляющей колоду. Первый путь состоит в том, что из колоды последовательно через некоторые промежутки времени извлекается по одной карте, фиксируется ее значение и вводится в алгоритм расчета. Второй путь — разложить на столе всю колоду и подсчитать среднее значение номинала карт.

В статистической теории равновесных состояний, излагаемой далее, используется усреднение по ансамблю. При этом нетрудно заключить, что чем чаще некоторое значение параметра, например, энергии, встречается в ансамбле, тем ближе это значение к среднему.

В соответствии с вышесказанным, определим равновесным значение энергии, как ее значение, наиболее часто реализующееся в статистическом ансамбле. То же самое можно отнести и к другим параметрам, характеризующим систему, в частности, числу частиц в ней.

Число частиц и энергия системы являются ее основными макропараметрами, на основе которых ведется дальнейший анализ.