Решение задач систем массового обслуживания

Систему массового обслуживания (СМО) в общем виде можно представить как совокупность последовательно связанных между собой входящих потоков требований на обслуживание (машин, самолетов, пользователей и т.д.), очередей, каналов обслуживания (станция техобслуживания, аэродром, ЭВМ и т.д.) и выходящих потоков требований после обслуживания.

Задачи массового обслуживания условно делят на задачи анализа и задачи синтеза – оптимизации систем массового обслуживания. Первые предполагают определение основных параметров функционирования системы массового обслуживания при неизменных, наперед заданных исходных характеристиках: структура системы, дисциплина обслуживания, потоки требований и законы распределения времени на их обслуживание. Вторые направлены на поиск оптимальных параметров систем массового обслуживания.

П.3.1. Постановка задачи

Рассмотрим вначале одноканальную замкнутую СМО с неограниченным временем ожидания требований для него и с простейшим потоком. Этот поток наиболее полно отвечает реалиям жизни и характеризуется следующими особенностями. Первая – поступление требований в систему на обслуживание происходит по одному, то есть вероятность прибытия двух и более требований в один момент времени очень мала, и поэтому ею можно пренебречь (поток требований ординарный). Вторая – вероятность поступления последующих требований в любой момент времени не зависит от возможности их прибытия в предыдущие моменты – поток требований без последействия. Третья особенность – поток требований стационарный.

Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей. Функционирование любой СМО можно представить через все возможные состояния ее и интенсивность перехода из одного состояния в другое. Основными параметрами функционирования СМО являются вероятности ее состояния, то есть возможности наличия n требований (покупателей, рабочих, заданий, машин, неполадок) в системе – Р_n. Так, вероятность Р₀ характеризует состояние, когда в системе нет требований и канал обслуживания простаивает.

Важным параметром функционирования СМО является также среднее число требований, находящихся в системе N_сист, то есть в очереди на обслуживание, а также средняя длина очереди N_оч. Исходными параметрами, характеризующими СМО, являются: число каналов обслуживания – N (касс, компьютеров, кранов, ремонтных бригад и т.п.); число требований (покупателей, заданий, машин, неполадок и т.д.) – m; интенсивность поступления одного требования на обслуживание – λ, то есть число поступлений требований в единицу времени; интенсивность обслуживания требований – μ.

Интенсивность поступления требования на обслуживание определяется как величина, обратная времени возвращения требования, – t_воз:

λ = 1/t_воз.

Интенсивность обслуживания требований определяется как величина, обратная времени обслуживания одного требования, – t_o6c:

μ = 1/t_обс.

П.3.2. Решение задачи смо традиционными методами

Состояние системы массового обслуживания будем связывать с числом требований, находящихся в системе:

• в системе нет ни одного требования – вероятность состояния Р₀;

• в системе находится одно требование – вероятность состояния Р₁;

• в системе находится n требований – вероятность состояния Р_n.

Представим все возможные состояния СМО в виде размеченного графа состояний. Каждый прямоугольник графа, количественно оцениваемый вероятностью состояний Р_n, определяет одно из всех возможных состояний. Стрелки указывают, в какое состояние система может перейти и с какой интенсивностью.

Первый прямоугольник с вероятностью Р₀ определяет состояние СМО, при котором канал обслуживания простаивает из-за отсутствия требований в ней. Из этого положения система может перейти только в состояние Р₁. Тогда в ней появится одно требование, так как входной поток их ординарный. С интенсивностью μ система может перейти также из состояния Р₁ в состояние Р₀; когда в системе находилось одно требование, оно было обслужено раньше, чем появилось новое и т.д.

Вначале рассмотрим установившийся режим работы системы массового обслуживания, когда основные вероятностные характеристики СМО постоянны во времени, например, в течение часа. Тогда интенсивности входных и выходных потоков для каждого состояния будут сбалансированы. Эти балансы выглядят так:

P₀mλ = P₁μ;

P₁[μ + (m – 1)λ] = P₀mλ + P₂μ;

P₂[μ + (m – 2)λ] = P₁(m – 1)λ + P₃μ;

P_n[μ + (m – n)λ] = P_n-1[m – (n – 1)]λ + μP_n+1;

………………………………………………

P_mμ = P_m-1λ.

Обозначим величину λ/m через Ψ и назовем ее коэффициентом загрузки.

Из первого уравнения можно найти значение P₁:

P₁ = P₀mλ/μ = P₀mΨ .

Из второго уравнения найдем значение P₂:

P₂ = P₁ + P₁(m – 1)λ/μ – P₀mλ/μ .

Но первый член – P₁ = P₀mλ/μ, следовательно, первый и третий сокращаются: P₂ = P₁(m – 1)λ/μ = P₀m(m – 1)Ψ². Из третьего уравнения найдем значение P₃: P₃ = P₂ + P₂(m – 2)λ/μ – P₁(m – 1)λ/μ. Но первый член – P₂ = P₁(m – 1)λ/μ, следовательно, первый и третий сокращаются: P₃ = P₂(m – 2)λ/μ = P₀m(m – 1)(m – 2)Ψ³ и т.д.; P_n = P_n-1[m – (n –1)]λ/μ = P₀m(m –1)… [m – (n – 1)]Ψⁿ = P₀Ψⁿm!/(m – n)!

Используя очевидное равенство , получим:

Зная вероятность простоя канала обслуживания Р₀, можно определить его фактическую производительность:

P_f = (1 – P₀)μG,

где G, например, количество груза, помещенного за одно обслуживание в машину.

Для установившегося режима работы системы средняя интенсивность поступления требований во входном потоке равна аналогичной характеристике выхода требований из канала обслуживания:

(m – N_сист)λ = (1 – P₀)μ ,

где N_сист – среднее число обслуживаемых требований, находящихся в системе. Из данного равенства можно легко найти среднее число требований (покупателей, рабочих, заданий, машин, неполадок, …), находящихся в системе N_сист:

N_сист = m – (1 – P₀)/Ψ.

Среднее же число требований (машин), находящихся в очереди, будет вычислено так:

N_оч = N_сист – (1 – P₀) = m – (1 – P₀)(1/Ψ +1).

Пример П.2. Пусть задан комплект машин «экскаватор – автосамосвалы». Экскаватор погружает за один рабочий цикл g_э = 1 т массы грунта. Грузоподъемность автосамосвала g_э = 7 т. Число машин, обслуживающих экскаватор, m = 5. Время рабочего цикла экскаватора составляет t = 18 с, а время обращения автосамосвала t_o6р = 10 мин. Тогда время обслуживания одного грузовика составит:

t_погр = g_а/g_э*t_р.ц. = 18*7/60*1 = 2,1 мин.

Интенсивность погрузки автосамосвала экскаватором составит:

μ = 1/t_погр = 60/2,1 = 29 погрузок в час.

Интенсивность же поступления автосамосвала на погрузку составит:

λ = 1/t_воз = 60/10 = 6 обращений в час.

Коэффициент Ψ = λ/μ будет равен Ψ = 0,207.

Вероятность простоя экскаватора в этом случае составит:

Таким образом, фактическая производительность данного комплекта машин будет на 27,1% ниже технической.

Вероятности наличия n машин в системе:

P₁ = P₀mΨ = 0,281;

P₂ = P₁(m –1)Ψ = 0,233;

P₃ = P₂(m – 2)Ψ = 0,144;

P₄ = P₃(m – 3)Ψ = 0,06;

P₅ = P₄(m – 4)Ψ = 0,012.

Фактическая производительность комплекта машин:

P_f = (1 – P₀)μG = (1 – 0,271)·29·7 = 147,947 т/час.

Среднее число машин, находящихся в системе:

N_сист = m – (1 – P₀)/Ψ = 1,477.

Среднее число машин, находящихся в очереди:

N_оч = N_сист – (1 – P₀) = m – (1 – P₀)(1/Ψ +1) = 0,749.

Теперь рассмотрим неустановившийся режим работы системы массового обслуживания, когда основные вероятностные характеристики СМО зависят от времени; например, в течение некоторого его промежутка. Тогда интенсивности входных и выходных потоков для каждого состояния будут сбалансированы, но уже с учетом производных вероятностей. Таким образом, мы будем иметь систему обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих функционирование одноканальной замкнутой системы при неустановившемся режиме.

Для составления системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающей функционирование СМО с пуассоновским потоком, существует мнемоническое правило:

• производная dP_n(t)/dt вероятности пребывания системы в состоянии n равна алгебраической сумме нескольких членов;

• число членов этой суммы равно количеству стрелок на графе состояний системы, соединяющих состояние n с другими;

• если стрелка направлена в рассматриваемое состояние n, то член берется со знаком «плюс»;

• если стрелка направлена из рассматриваемого состояния n, то член берется со знаком «минус»;

• каждый член суммы равен произведению вероятности того состояния, из которого направлена стрелка, на интенсивность потока событий, переводящего систему по данной стрелке.

В соответствии с размеченным графом состояний эта система обыкновенных дифференциальных уравнений будет выглядеть так:

dP₀(t)/dt = P₁(t)μ – P₀(t)mλ;

dP₁(t)/dt = P₀(t)mλ + P₂(t)μ – P₁(t)[μ + (m – 1)λ];

dP₂(t)/dt = P₁(t)(m – 1)λ + P₃(t)μ – P₂(t)[μ + (m – 2)λ];

…………………………………………………………………….

dP_n(t)/dt = P_n-1(t)[m – (n – 1)]λ + P_n+1(t)μ – P_n(t)[μ + (m – n)λ];

……………………………………………………………………..

dP_m(t)/dt = P_m-1(t)λ – P_m(t)μ.

Как можно заметить, требуется большая вычислительная работа для определения основных параметров функционирования комплекта машин. Можно пойти тремя путями. Первый – это предварительный расчет Р₀ для различных значений коэффициента использования Ψ.

Таблица П.5

Число требований, обслуживаемых системой, m

Коэф. загр. ψ	2	3	4	5	6	7
	Вероятность простоя канала обслуживания Р0
0,0	0,9232	0,8850	0,8469	0,8090	0,7712	0,733
0,0	0,8872	0,8313	0,7760	0,7212	0,6670	0,613
0,0	0,8527	0,7804	0,7092	0,6394	0,5712	0,504
0,1	0.8197	0,7321	0,6467	0,5640	0,4845	0,409
0,1	0,7881	0,6865	0,5885	0,4952	0.4075	0,326
0,1	0,7580	0,6445	0,5347	0,4331	0,3602	0,257
0,1	0,7293	0,6031	0,4851	0,3775	0,2822	0,201
0,1	0,7019	0,5652	0,4398	0,3282	0,2331	0,1561
0,2	0,6757	0,5297	0,3983	0,2849	0,1918	0,120