2.1. Линейное программирование

Математические модели оптимизации позволяют существенно поднять качество планирования и управления при реализации различных экономических проектов. Так, если установлено (например, методами математической статистики), что рассматриваемые характеристики зависят друг от друга линейно, причём область допустимых решений задаётся линейными функциями-ограничениями, то для решения таких задач могут быть использованы линейные математические модели. Это могут быть задачи о распределении ресурсов, о рационе питания (диете), о планировании перевозок, распределении работ, расстановке кадров и многие другие. При оптимизации переменной величины в случае линейности модели применяются методы линейного программирования. Основное положение в линейном программировании заключается в том, что связь между факторами, влияющими на исследуемую характеристику, линейна. Кроме того, только линейными зависимостями должны быть заданы используемые в задаче функции-ограничения, определяющие область изменения допустимых значений рассматриваемой величины.

Линейное программирование решает задачи нахождения оптимальных значений переменных для линейной целевой функции и системы её ограничений, заданных линейными алгебраическими уравнениями или неравенствами.

2.1.1. Постановка задачи

Общей задачей линейного программирования называется задача о нахождении максимума (минимума) линейной функции

(1.1)

при ограничениях

(1.2)

Решение X = (x₁, x₂,…, x_n) системы ограничений (1.2), при котором функция F(X) принимает максимальное (минимальное) значение, называется оптимальным планом задачи линейного программирования. Все остальные решения системы ограничений называются допустимыми планами. Функция F(X) называется целевой функцией. Ограничения (1.2) называются основными.

Стандартной (симметричной) задачей называется задача линейного программирования, в которой все основные ограничения заданы неравенствами и все переменные задачи неотрицательны.

Основной (канонической) задачей называется задача линейного программирования, в которой все ограничения заданы равенствами и все переменные неотрицательны.

2.1.2. Симплексный метод

Для нахождения оптимального плана задачи линейного программирования применяется симплексный метод. (По данному методу см. также прил. 1)

Симплексный метод решения задач линейного программирования основан на идее последовательного улучшения решения задачи, исходя из опорного плана (первоначального

решения), найденного каким угодно способом.

В задачах линейного программирования, как правило, решаются системы ограничений, в которых число линейно независимых переменных меньше общего числа переменных задачи.

Любые m переменных системы m линейных уравнений с n переменными (m < n) называются базисными (основными), если определитель матрицы размерности m×m коэффициентов при них отличен от нуля. Остальные n − m переменных называются свободными (неосновными).

Симплексный метод позволяет улучшать план задачи наиболее рациональным способом, опираясь на критерии оптимальности решения.

Критерий оптимальности решения при отыскании максимума линейной функции симплексным методом можно сформулировать следующим образом:

если в выражении линейной функции через свободные переменные отсутствуют положительные коэффициенты при свободных переменных, то решение оптимально.

Критерий оптимальности решения при отыскании минимума линейной функции:

если в выражении линейной функции через свободные переменные отсутствуют отрицательные коэффициенты при свободных переменных, то решение оптимально.

На практике удобнее для выяснения вопроса: является ли найденный план оптимальным, пользоваться оценками переменных ∆_j, j = 1, n, которые вычисляются по формулам

.

(1.3)

Тогда критерии оптимальности решения формулируются иначе, а именно:

– при отыскании максимума функции:

если оценки всех переменных неотрицательны, то значение целевой функции максимально и решение оптимально;

– при отыскании минимума функции:

если оценки всех переменных неположительны, то значение целевой функции минимально и решение оптимально.

Первоначальное допустимое решение определяется методом выравнивания (введением дополнительных переменных, с помощью которых неравенства превращаются в равенства) или М-методом − методом искусственного базиса.

Практические расчеты при решении реальных задач, если не используется ЭВМ, проводят в так называемых симплексных таблицах.

Рассмотрим одну из часто решаемых симплексным методом оптимизационных задач − задачу о распределении ресурсов.

Предприятие производит три вида электронной техники: телевизоры, магнитофоны и моноблоки. Технологические коэффициенты, определяющие затраты того или иного ресурса на производство одной единицы продукции каждого вида, а также количества запасов соответствующих ресурсов, используемых при выпуске этих изделий, и прибыль, получаемая предприятием-производителем от реализации одной единицы каждого вида продукции, приведены в табл. 1.1.

Требуется таким образом спланировать выпуск изделий на заводе, чтобы получать наибольшую, максимальную, прибыль.

Решение задачи начнём с допущения, что неизвестная x₁ обозначает количество телевизоров, x₂ − количество магнитофонов, а x₃ − количество моноблоков, выпускаемых предприятием. Тогда получаем, что затраты по ресурсу «Пластиковые формы» на данном предприятии, согласно заданным табл. 1.1 технологическим коэффициентам определяются зависимостью 2,5х₁ + 1,7х₂ + 2,1х₃. При этом затраты по ресурсу «Пластиковые формы» не должны превышать 150 единиц, заданных в качестве имеющегося на предприятии запаса.

Таблица 1.1

Технологические коэффициенты, прибыль и запасы ресурсов
Ресурс	Телевизор	Магнитофон	Моноблок	Запас ресурса
Пластиковые формы	2,5	1,7	2,1	150
Соединительные кабели	3,7	2,2	2,8	175
Электронные платы	4,5	2,1	3,5	250
Трудозатраты	5,0	3,0	4,5	130
Прибыль от реализации одного изделия	3,0	1,0	2,0	–

Таким образом, получаем первое ограничение на количество выпускаемой продукции:

.

(1.4)

Аналогично составляются ограничения по другим ресурсам, и в результате получаются еще три ограничения по ресурсам:

,	(1.5)
,	(1.6)
.	(1.7)

Кроме того, поскольку количество выпущенной продукции не может быть отрицательной величиной, естественно потребовать, чтобы выполнялись неравенства

.

(1.8)

При выпуске выбранного количества продукции согласно данным табл. 1.1 предприятие получит прибыль, определяемую функцией

.

(1.9)

Решение задачи оптимизации заключается в нахождении таких количеств выпускаемой продукции, которые обеспечивают функции прибыли максимальное значение при заданных ограничениях по количеству имеющихся на предприятии ресурсов. Каждое из решений системы неравенств (1.5)−(1.7), будет допустимым решением (планом) для данной задачи. Оптимальным решением называется то из допустимых решений, при котором целевая функция имеет максимальное значение. В разных задачах оптимальных решений может быть как множество, так и не быть вообще, или может существовать единственное оптимальное решение (план).

Таким образом, объединяя составленные по данным табл. 1.1 зависимости (1.5)−(1.8), получаем математическую модель задачи о распределении ресурсов:

	(1.10)
.

Естественное ограничение о неотрицательности количеств выпускаемой продукции вытекает из смысла производственной задачи.

Решение сформулированной задачи может быть найдено, например, симплексным методом.

Поскольку ограничения задачи являются неравенствами «с недостатком», введём дополнительные вспомогательные переменные , которые называют «выравнивающими», и с помощью них превратим неравенства в равенства

	(1.11)

Теперь система (1.11) является системой четырёх линейных алгебраических уравнений относительно семи неизвестных. Решения системы (1.11) находим симплексным методом в табл. 1.2 с использованием метода Жордана − Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений.

Метод Жордана − Гаусса − это метод нахождения базисных решений систем m линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных, если , в специальных таблицах, позволяющих в ходе решения замещать базисный элемент одним из свободных переменных. Количество N различных базисных решений определяется формулой

(1.12)

Среди найденных базисных решений могут быть и вырожденные, то есть такие, в которых значение базисной переменной равно нулю.

В качестве первого базиса берём систему векторов , и соответствующий базисный вектор имеет нулевые координаты, поскольку коэффициенты целевой функции при соответствующих переменных равны (см. (1.1)):

С1 = 3,0; С2 = 1,0; С3 = 2,0; С4 = 0; С5 = 0; С6 = 0; С7 = 0.

При решении системы (1.11) и нахождении того её базисного решения, которое обеспечивает максимум рассматриваемой функции прибыли (целевой функции) F, использованы критерии симплексного метода для задач линейного программирования. Стрелки в табл. 1.2 указывают разрешающий столбец и разрешающую строку, на их пересечении находится разрешающий элемент.

Разрешающим столбцом является столбец, содержащий максимальную по абсолютному значению отрицательную оценку − наименьший элемент строки оценок. Разрешающей строкой называется строка, соответствующая минимальному значению из оценок элемента строки δ_i, найденного для всех элементов разрешающего столбца по элементам столбца свободных членов уравнений по формуле

.

(1.13)

Согласно критерию оптимальности решения при нахождении его симплексным методом следует отыскать такое базисное решение полученной системы уравнений, при котором оценки его будут неотрицательны в случае максимума целевой функции или неположительны в случае минимума целевой функции.

Таблица 1.2
Решение задачи о распределение ресурсов симплексным методом
Базис хбаз	Свободные члены уравнений	Неизвестные в задаче программирования							Оценка элемента строки
		х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7
х4	150	2,5	1,7	2,1	1	0	0	0	60
х5	175	3,7	2,2	2,8	0	1	0	0
х6	250	4,5	2,1	3,5	0	0	1	0
х7	130	5,0	3,0	4,5	0	0	0	1	26
	F=0	-3,0	-1,0	-2,0	0	0	0	1	-
х4	85	0	0,2	-0,15	1	0	0	-0,5
х5	78,8	0	-0,02	-0,53	0	1	0	-0,74
х6	113	0	-0,6	-0,55	0	0	1	-0,9
х1	26	1	0,6	0,9	0	0	0	0,2
	F=78	0	0,8	0,7	0	0	0	0,6	-

Если промежуточные базисные решения не удовлетворяют критерию оптимальности, производится замещение одного из базисных свободной неизвестной и проверяется выполнение критерия оптимальности для следующего базисного решения.

Поскольку все оценки в табл. 1.2 неотрицательны, полученный план Х₁ (х₁ = 26; х₂ = 0; х₃ = 0) оптимальный при заданных ограничениях; значение целевой функции F(X₁) = 78 − её максимальное значение. Найденное решение, состоящее из оптимального плана и максимального значения целевой функции, называется оптимальным решением задачи о распределении ресурсов.

Для заданных ограничений по ресурсам максимально возможная прибыль предприятия составляет 78 условных денежных единиц. При этом следует заниматься только выпуском телевизоров. При выборе такого плана выпуска продукции будет израсходован весь ресурс «трудозатраты», остатки ресурса «пластиковые формы» составят 85 условных единиц, ресурса «соединительные кабели» − 78,8 условных единиц и ресурса «электронные платы» − 113 условных единиц.

В ходе развития производства ограничения по одному или нескольким видам ресурсов могут изменяться, так как изменяются условия производственного процесса, для которых решалась задача. В этом случае будет изменяться и оптимальное решение задачи. В рассматриваемой задаче достаточно увеличить ресурс «трудозатраты», чтобы предприятию стало выгодным выпускать и другие виды продукции.

Таким образом, решая задачу о распределении ресурсов, на основе полученного оптимального решения можно выявить определяющие ограничения и дать рекомендации по направлениям дальнейшего развития производства.