2.2.5. Решение транспортной задачи средствами Mathcad

Постановка задачи А. Пусть имеется m источников финансирования А₁, А₂, ..., А_m и n периодов финансирования B₁, B₂, ..., В_n. Известны затраты, связанные с выделением единицы денежных ресурсов С_ij из i-ro источника в j-ом периоде, а также объемы финансирования из каждого i-гo источника в течение всего времени – а_i. Известны суммарные объемы финансирования из всех источников в каждый j-ый период времени – b_j. Требуется определить объемы финансирования Х_ij из i-ro источника в j-ом периоде, чтобы:

1. Ресурсы всех источников были реализованы.

2. Обеспечить финансирование в полном объеме в каждом периоде.

3. Достигнуть экстремума выбранного критерия оптимизации.

Введите в рабочем листе поясняющий текст. Для этого вначале разместите в месте ввода текста курсор (визир – красный крестик). Затем выберите (щелчком мыши или с помощью клавиатуры) пункт Insert (Вставка) главного меню Mathcad. В появившемся падающем меню щелкните по пункту Text Region (Текстовая область) или в месте расположения курсора нажмите клавишу с двойной кавычкой (команда для ввода текста). В обоих случаях появится шаблон, указывающий место и начало ввода, после чего можно приступить к этой операции. Текстовая область будет автоматически увеличиваться по мере ввода текста. По окончании его необходимо вывести курсор (маркер ввода) за рамки области.

Далее введите критерий оптимизации – целевую функцию. Для этого вначале разместите курсор в месте ввода математического выражения. Затем с помощью соответствующих клавиш начните ввод; в первую очередь – имени критерия оптимизации, с аргументами в скобках через запятые:

Y (X11, Х12, Х13, Х21, Х22, Х23, Х31, Х32, Х33).

Затем нажмите комбинацию клавиш Shift+: для ввода знака присваивания :=. На месте правой метки поместите все выражение критерия оптимизации. Начальные приближения вводятся аналогично.

Для решения задачи используем блок функций Given ... Minimize, выполнив следующие операции:

• введите, если необходимо, комментарии, воспользовавшись клавишей с двойной кавычкой;

• введите ключевое слово Given;

• введите систему ограничений, используя при вводе знак равенства, вызванный нажатием комбинации клавиш Ctrl+=;

• введите граничные значения (рис. 2.5);

• введите вектор-столбец искомых параметров, используя диалоговое окно Insert Matrix (Вставить матрицу). Для этого щелкните по левой верхней кнопке на панели инструментов Matrix (Матрица) или нажмите комбинацию клавиш Ctrl+M. В появившемся диалоговом окне Insert Matrix в поле Rows (Строки) число строк (элементов вектора-столбца) должно быть равно 9, а в поле Columns (Столбцы) – 1;

• введите знак присваивания, нажав комбинацию клавиш Shift+:(двоеточие);

• используя диалоговое окно Insert Function (Вставить функцию), введите функцию Minimize с искомыми параметрами, нажав для этого комбинацию клавиш Ctrl+E;

• скопируйте и вставьте вектор-столбец искомых параметров и введите знак «равно».

На рисунке показано начало процесса оптимизации распределения однородных ресурсов с помощью Mathcad.

Это математическое описание конкретной транспортной задачи в нотации системы. Представлен критерий оптимизации, начальные приближения и граничные условия. В описании двух первых пунктов использован знак присваивания := (двоеточие и равно). Он вводится щелчком мыши по второй кнопке в первой строке панели Evaluation (Вычисление), если она была заранее выведена на рабочий лист.

Рис. 2.5.

Следует обратить внимание на представление системы ограничений в Mathcad. При ее написании используется жирный знак равенства, вызываемый щелчком по кнопке с аналогичным знаком – второй в первом столбце панели инструментов Evaluation (Вычисление).

Рис. 2.6.

На рис. 2.6 показано продолжение процесса оптимизации распределения однородных ресурсов с помощью Mathcad. Жирный знак «равно» – его еще называют булевым равенством – можно вывести нажатием комбинации клавиш Ctrl+= (равно).

Оптимальное распределение однородных ресурсов зафиксировано в векторе (X11 Х12 Х13 ...). Из полученного решения видно, что X11 = 4, Х12 = 2, Х13 = 8, Х21 = 0, Х22 = 20, Х23 = 0, Х31 = 26, Х32 = 0, Х33 = 0. Это означает, что источник 1 должен профинансировать в первом периоде 4 единицы, во втором и в третьем – 8 единиц. Источник 2: в первом периоде 0 единиц, во втором 20 и в третьем – 0 единиц. Источник 3: в первом периоде 26 единиц, во втором и в третьем финансирование отсутствует. Первая цифра в переменной X определяет источник, а вторая – период финансирования. Такое распределение денежных средств из источников обеспечит минимальные суммарные затраты Y, которые составят 1402×103 единиц.