3. Розробка методики розвитку креативних здібностей через систему креативних вправ

Школа має своїм завданням не лише озброїти учнів міцними знаннями, а й формувати в них досвід творчої діяльності [3;2].

Розвиток креативного мислення через систему креативних вправ передбачає:

• творчий підхід до розв’язання стандартних вправ;

• розв’язання нестандартних вправ;

• варіативність під час розв’язування задач і вправ;

• виховання навичок дослідницької діяльності через систему креативних завдань;

• розв’язання творчих вправ під час повторення вивченого матеріалу.

Розвитку креативних здібностей учнів сприяє цілеспрямоване і систематичне включення творчих вправ і завдань у навчальний процес. Це дає змогу наблизити навчальну діяльність до наукової, підвищити ефективність навчання математики в загальноосвітній школі. Перш за все вчитель повинен навчати творчого підходу до розв’язання стандартних вправ.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння

Його, звичайно, можна розв’язати так: знайти нулі підмодульних виразів, розбити числову пряму на проміжки і розкривати модулі на кожному з проміжків. За допомогою міркувань підводимо учнів до другого способу: врахуємо, що отже, (оскільки за іншої умови рівняння не буде мати коренів). При такому значенні х: і Дістанемо систему:

Помічаємо, що рівняння розв’язків не має. Творчий підхід виявився раціональним і ефективним.

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння

Розв’язання графічним способом дасть наближені корені. Дослідимо ліву частину рівняння. Оскільки в правій частині маємо постійне додатнє число, то й ліва частина рівняння буде набувати додатних значень. Отже, Функція є зростаючою. Оскільки в правій частині рівняння знаходиться число, а в лівій – зростаюча функція, то дане рівняння має не більше одного кореня. Це буде число х=1.

Розвитку креативних здібностей учнів сприяє і розв’язання нестандартних вправ. Під час цього учні проявляють “ризик”, винахідливість, логічну гнучкість.

Приклад 3. Розв’яжіть рівняння

Нехай , тоді рівняння набуває вигляду Якщо піднести обидві частини рівняння до куба, дістанемо складне і громіздке рівняння. Орієнтуємо учнів на інший спосіб. Покажемо, що функція є оберненою до функції ,( Змінимо t на y, у на t. Маємо: ). Функції f(t) і g(t) зростаючі і взаємно обернені. Графіки взаємно обернених зростаючих функцій можуть перетинатися на прямій y=t. Тож маємо: , отже,

Відповідь: 1.

Для самостійної роботи пропонується рівняння . (Вказівка. Запишемо рівняння у вигляді , Доводимо, що функції і взаємно обернені і зростаючі. Отже, спільні точки їх графіків лежать на прямій . Маємо:

Приклад 4. Розв’яжіть рівняння

Запишемо рівняння у вигляді Оскільки то

Рівність і правої частин рівняння буде виконуватись за умови, що , звідки

Приклад 5. Доведіть нерівність

Розглянемо очевидні нерівності і . Додамо їх почленно, дістанемо .

Оскільки обидві частини нерівності додатні, може­мо піднести їх до n-го степеня. Маємо:

Що й треба було довести.

Приклад 6. Доведіть нерівність Запишемо нерівність у вигляді

Застосуємо векторний підхід. Нехай

Оскільки , то звідки

Такі нестандартні вправи сприяють розвитку іні­ціативи, логічних навичок, креативного мислення. [3;3]

Красивий, логічно витончений підхід до розв'язан­ня вправ — це і є творчий підхід, маленьке “науко­ве” відкриття учня.

Сучасна людина повинна володіти гнучкістю мис­лення, варіативністю в підході до розв'язання різних проблем, в тому числі й наукових, матема­тичних. Особливо потрібні такі риси людям розумо­вої праці, науковцям. Їх можна виробити, навчаючи учнів розв'язувати одну й ту саму вправу різними способами.

Розглянемо приклади.

Приклад 7. Розв'яжіть рівняння х²-4х+5.

Спочатку розв'язуємо його графічно. Потім пропо­нуємо інший підхід. Оцінимо ліву й праву частини рівняння:

-1 х²-4х+5=(x-2)²+1 1.

Рівність х²-4х+5 можлива за умови

звідки х =2.

Розв'яжіть рівняння Його розв'язання не викликає труднощів. Учні роз­в'язують його методом піднесення до степеня.

Але значно ефективніше й раціональніше застосу­вати вектори. Запишемо рівняння у вигляді

Уведемо вектори і . Нехай

Оскільки , то маємо:

Рівність можлива тоді, коли вектори і співнапрямлені, отже, колінеарні і їх координати пропорційні. Отже, Розв'яжіть рівняння

Після розв'язування рівнянь методом звільнення від радикалів націлюємо учнів на інший шлях. Нехай знайдемо похідну функції f(х)

Помічаємо, що на області визначення функції f'(х)>0. Отже, функція

зростає на своїй області визначення. Якщо в одній частині рівняння знаходиться зростаюча (спадна) функція, а в іншій — постійна, то рівняння має не більше одного кореня. Це буде х = 7.

Приклад 8. Доведіть нерівність

Перший спосіб — алгебраїчний. Оскільки обидві частини нерівності додатні, піднесемо їх до квадрата і знайдемо різницю правої і лівої частин:

(9^х +16^x +1)(а² +b² +1)-(a∙3^x + b∙4^x +1)² = а² ∙9^х +b²∙9^х +9^Х +а² ∙16^x +b²∙16^х +16^x+ +а²+b²+1-а²∙9^х-b²∙16^х-1-2аb3^x ∙4^х-2а∙З^х -2b∙4^x =(b∙3^x-a∙4^x)²+(3^x-a)²+(4^x-b)²≥ 0

отже, Застосуємо векторний метод. Нехай m(3^х;4^х;і),n(a;b;1). Тоді Оскільки , то

У цьому випадку геометричний підхід більш раціо­нальний та ефективний від алгебраїчного. На таких прикладах учні вчаться шукати кращі, красивіші способи, креативні підходи до знаходження шляхів розв'язання запропонованих вправ.

Креативне мислення учнів виявляється в умінні аналізувати, синтезувати, порівнювати, абстрагува­тися, конкретизувати. Особливу увагу приділяємо розвитку вмінь аналізувати й узагальнювати. Про­понуємо учням завдання, які вимагають більш висо­кого рівня розумової діяльності. Це завдання дослідницького характеру. Вони передбачають про­ведення аналізу окремих випадків і перехід до за­гальних закономірностей.

Так, наприклад, у дев'ятому класі пропонуємо уч­ням обчислити суми таких послідовностей:

1)

2)

3)

Після деяких міркувань учитель “наводить учнів на відкриття”. Підказка не є явною, нав'язаною, а швидше — евристичною. Першу вправу учні розв'язали за допомогою вчителя. Під час виконання другої вони несміливо починають застосовувати за­кономірність, виявлену в першій вправі. А вже третє завдання розв'язують упевнено. Після виконання всіх трьох вправ пропонуємо учням помічену влас­тивість записати в загальному вигляді й довести її [3;4].

Учні доводять, що

Далі пропонуємо вправи складнішого характеру. Обчисліть такі суми:

1)

2)

3)

4)

Учні розв'язують усі завдання і для кожного знахо­дять загальну формулу.

Такі вправи розвивають пізнавальну потребу аналізувати, досліджувати, узагальнювати.

Неправильно вважати, що повторення — це репро­дуктивне відтворення пройденого матеріалу. Повто­рення — це творчий підхід до розгляду раніше вивчених питань на більш високому рівні їх застосуван­ня. Наприклад, у дев'ятому класі учні вивчали знаходження суми членів арифметичної та геометричної прогресій. Розв'язуючи тригонометричні та показникові рівняння в десятому класі, повторюємо ці формули та пропонуємо розв'язати такі вправи.

Розв'яжіть рівняння:

1)

2) де

3) де

В одинадцятому класі під час повторення похідної показуємо учням новий аспект застосування похідних, а саме: під час розв'язуванні рівнянь, доведенні нерівностей, тотожностей.

Приклад 9. Доведіть тотожність:

Нехай f(х)= . Знайдемо f'(х). f'(х)=

Маємо, що f'(х)=0 при . Отже, f(х)=С при Знайдемо С. Візьмемо довільне значення х з області визначення. Нехай х = 0, тоді f(х)=0, тобто або

Далі складаємо алгоритм, за яким учні вчаться роз­в'язувати такі вправи.

Щоб довести тотожність за допомогою похідної, треба:

1. Скласти функцію f(х), яка є різницею лівої і пра­вої частин тотожності, визначену на проміжку f.

2. Знайти похідну функції f'(х) і довести, що вона дорівнює нулю.

3. За ознакою сталості функції зробити висновок: якщо f'(х)=0 на деякому проміжку f, то функція f(х) — стала на цьому проміжку, f(х)=С.

4. Надати х довільного значення з проміжку I і знайти сталу С [3;5].

Приклад 10. Якщо а та b — корені рівняння х²+ х -2004=0, то чому дорівнює значення виразу а²+2b²+аb+b-2004?

Нехай A=а²+2b²+аb+b-2004=(а+b)² –аb+b²+b-2004. За теоремою Вієта: а + b= -1, ab = -2004 [11;18].

Крім того, b²+b-2004=0, оскільки b- корінь даного рівняння. Тому А=(-1)²+2004=2005.

Приклад 11. У червні у Черкасах кількість сонячних днів становила 25 % від кількості похмурих, кількість теплих днів - 20 % від кількості холодних. Тільки три дні були сонячними і теплими. Скільки було похмурих і холодних днів?

Розв’язання: у червні 30 днів. Тоді сонячних днів було 6, а похмурих днів—24. Теплих днів було 5, а холод­них - 25. Оскільки сонячних і теплих було 3, то сонячних і холодних також було 3, а теплих і по­хмурих - 2 дні. Отже, похмурих і холодних днів було 30 - (2 + 3 + 3) = 22.

Приклад 12. Матір порахувала, що коли дітям дати по 4 цукерки, то 3 цукерки залишаться. А для того, щоб діти отримали по 5 цукерок, 2 цукерок не виста­чає. Скільки дітей у матері?

Розв’язання: коли мати дасть дітям по 4 цукерки, то у неї залишиться 3 цукерки. Коли б у неї було ще 2 цукерки, то вона змогла б дати дітям по 5 цукерок, додавши кожній ди­тині ще по 1 цукерці. Отже, дітей було 5.

Приклад 13. Знайти цілі розв’язки рівняння. .

Розв’язання: Подамо вихідне рівняння у вигляді (3x+7y)(x-y)=13. Оскільки добуток цілих чисел дорівнює 13 – простому числу, то можливі випадки:

1) 2) 3) 4)

Розв’язуючи системи рівнянь, дістаємо, що тільки 1) та 2) системи мають цілі розв’язки. І тому (2;1), (-2;-1).

Приклад 14. Всередину квадрата зі стороною 10см “кинуто” 101 точку (жодні три не лежать на одній прямій). Довести, що серед тих точок є три, які утворюють трикутник, площа якого не перевищує 1 см².

Розв’язання: Розіб’ємо квадрат на 50 прямокутників зі сторонами 1см та 2см. Тоді хоча б в один із цих прямокутників потрапить не менш як 3 точки. Ці три точки утворюють трикутник, площа якого не перевищує половині площі прямокутника, в якому міститься цей трикутник. [14; 38]

П риклад 15. Доведіть, що сторони трикутника обернено-пропорційні до його висот.

Доведення. Знайдемо площу трикутникa ,також площу цього ж самого трикутника можна записати як , .Всі площі рівні . Визначимо з цих рівностей сторони a, b, c. ; ; ,тобто ми отримали a: b: c= : : .

Приклад 16. Довести, що число раціональне.

Розв’язання: Позначимо дане число через х. Тоді звідки отримуємо, що число х має задовольняти рівняння x³-5x-12=0. Єдиним дійсним коренем цього рівняння є число х=2 [14; 116].

П риклад 17. Довести, що в трикутнику АВС бісектрису АА₁ можна знайти за формулою де b=AC, c=AB.

Розв’язання: Площа трикутника АВС дорівнює . Його площу можна знайти також як суму площ трикутників АВА₁ та АСА₁. Маємо Порівнявши площі, отримуємо [14; 187].

Творчий підхід до повторення пройденого матеріалу активізує розумову діяльність учнів.

Цілеспрямований розвиток креативного мислення під час розв'язування творчих вправ забезпечує міцне і свідоме засвоєння математики, виховує інтерес до наукової праці [3;5].