2. Множественная зависимость

2.1 Рассмотрим линейную регрессионную модель:

.

где a₀,a₁,a₂ – неизвестные параметры, u – случайное отклонение.

Нахождение оценок неизвестных параметров в модели с тремя переменными х₁,х₂,у также как и в модели с двумя переменными, основывается на применении метода наименьших квадратов, используя который получаем систему нормальных уравнений

(5)

Обозначим A=(a₀,a₁,a₂)

, , , тогда ,

Следовательно система (5) примет вид и ее можно решить например по правилу Крамера:

, (6)

где -определитель матрицы X^TX -определитель матрицы полученной из X^TX заменой i – го столбца на столбец свободных членов X^TY.

	16	82	1586
Δ=	82	454	8158	=
	1586	8158	166514

=	16	x	454	x	166514	+	82	x	8158	x	1586	+
	82	x	8158	x	1586	-	1586	x	454	x	1586	-
	8158	x	8158	x	16	-	82	x	82	x	166514	=	5008784

	100,6	82	1586
Δa0=	475,2	454	8158	=
	10347,2	8158	166514

=	100,6	x	454	x	166514	+	475,2	x	8158	x	1586	+
	82	x	8158	x	10347,2	-	10347,2	x	454	x	1586	-
	8158	x	8158	x	100,6	-	475,2	x	82	x	166514	=	41213969,6

	16	100,6	1586
Δa1=	82	475,2	8158	=
	1586	10347,2	166514

=	16	x	475,2	x	166514	+	82	x	10347,2	x	1586	+
	100,6	x	8158	x	1586	-	1586	x	475,2	x	1586	-
	10347,2	x	8158	x	16	-	82	x	100,6	x	166514	=	-6187537,6

	16	82	100,6
Δa2=	82	454	475,2	=
	1586	8158	10347,2

=	16	x	454	x	10347,2	+	82	x	8158	x	100,6	+
	82	x	475,2	x	1586	-	1586	x	454	x	100,6	-
	8158	x	475,2	x	16	-	82	x	82	x	10347,2	=	221840

Подставив найденные значения в формулы (6) получим вектор оценок A:

	8,23
А=	-1,24
	0,04

Таким образом 8,23 -1,24 + 0,04

Проверим адекватность модели.

Гипотеза Н₀:R²=0 (т.е. уравнение не значимо)

Коэффициент R² множественной детерминации определяется по формуле:

(7)

где - выборочное среднее, значения у найденные по полученному уравнению регрессии.

Найдем необходимые значения разностей и занесем их в таблицу:

Табл.7

y	y(x1,x2)	e2=(y-y(x1,х2))2	(y-M(y))2	(ei-ei-1)2
10	9,39	0,3721	13,782656
5,2	4,47	0,5329	1,182656	0,0144
5,9	5,79	0,0121	0,150156	0,3844
5,3	5,23	0,0049	0,975156	0,0016
9,2	8,83	0,1369	8,482656	0,09
6,1	5,79	0,0961	0,035156	0,0036
6,4	6,03	0,1369	0,012656	0,0036
3,1	3,31	0,0441	10,160156	0,3364
4	3,83	0,0289	5,232656	0,1444
9,5	9,07	0,1849	10,320156	0,0676
6,9	5,87	1,0609	0,375156	0,36
8,8	8,19	0,3721	6,312656	0,1764
6,1	5,87	0,0529	0,035156	0,1444
5,1	4,75	0,1225	1,410156	0,0144
5,9	4,39	2,2801	0,150156	1,3456
3,1	2,63	0,2209	10,160156	1,0816
Сумма	93,44	5,6592	68,777496	4,1684

Для данного уравнения имеем

5,6592

68,777496

(5,6592/13)^0,5=0,6598

1-5,6592/68,777496=0,918

Рассчитаем F-статистику Фишера:

	0,918х13	=72,76829268>2,763=
	0,082х2

Следовательно уравнение регрессии статистически значимо

Коэффициент множественной детерминации R² равен квадрату коэффициента множественной корреляции. Этот показатель характеризует долю дисперсии, «объясненной» с помощью регрессии в общей дисперсии зависимой переменной.

Проверим статистическую значимость параметров уравнения регрессии. Т.е. проверим гипотезы Н₀: a₀=0; Н₀: a₁=0; Н₀: a₂=0.

Стандартная ошибка коэффициентов множественной регрессии определяется по формуле:

Где Z_ii - диагональные элементы матрицы

	1,805706	-0,142861	-0,0102
(XТX)(-1)=	-0,142861	0,029713	-0,000095
	-0,0102	-0,000095	0,000108

Стандартные ошибки:

CО а0	CО а1	CО а2
0,8866	0,1137	0,0069

t-статистики находим так же как и ранее:

t а0	t а1	t а2
9,283	10,906	5,797

Сравнение с табличным значением t=1,761 позволяет принять альтернативную Н₀ гипотезу и значит коэффициенты статистически значимы.

2.3. Точечный прогноз это значение 8,23 -1,24 + 0,04 , где - вектор независимых переменных, для которых определяется прогноз. В нашем случае х₁^р=3; х₂^р= 165.

Доверительный интервал среднего значения цены для уравнения множественной регрессии, находится по формуле:

где -соответственно верхняя и нижняя границы доверительного интервала, - вектор независимых переменных, для которого определяется интервал, - квантиль распределения Стъюдента, (1-α) –доверительная вероятность, (n-3) – число степеней свободы.

, ,

где - матрица обратная к она находится по формуле ,

- присоединенная матрица, алгебраическое дополнение , –минор элемента, стоящего на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы. Определитель 5008784

				1,805706	-0,142861	-0,0102		1
=1	3	165	x	-0,142861	0,029713	-0,000095	x	3	=0,6904
				-0,0102	-0,000095	0,000108		165

S=0,6598.

Пусть (1-α)=0,95, тогда , 11,11±0,5482

Результаты оформим в виде таблицы:

Табл.8

Xp	Точечный прогноз		Интервальный прогноз
			ун	ув
(1;3;165)	11,11	0,5482	10,139	12,081