6. Примеры

Задача №1 В аффинной системе координат R=(О, ) дан треугольник АВС координатами своих вершин. Вычислить координаты центра тяжести треугольника ( точки пересечения медиан).

Решение

Рис.6

Так как точка В₁− середина отрезка АС, то , .

2. По свойству медианы │ВМ│:│МВ₁│= 2:1. => λ_М = 2. Используя соотношения (4), получаем:

.

Аналогично .

Ответ: М( ; ).

Задача №2 Отрезок АВ с концами А(-5;8) и В(-2;0) делится точками C,,E последовательно на равные части. а) В каком отношении точки C, , B делят отрезок LЕ? б) Найти координаты точки Е. в) Определить координаты точек, делящих отрезок в отношении: ₁=-2 ,₂=1/2 и координаты точки М, для которой λ_М = (АВ,М) = = ─ 5. Решение

Рис.7

а). Определим отношение, в котором точка С делит отрезок АЕ. По определению . Так как и сонаправлены, то λ_С > 0 и . Аналогично

б). Вычислите самостоятельно координаты точки Е.

Лекция №2

§2Прямая на плоскости

1. Различные уравнения прямой.

При аксиоматическом построении геометрии прямая является основным неопределяемым понятием, основные свойства которой определяются аксиомами.

В аналитической геометрии основным методом изучения свойств геометрических фигур является метод координат, основной особенностью которого является возможность каждой геометрической фигуре поставить в соответствие уравнение или неравенство и изучать свойство исследуемой фигуры на основе следствий, вытекающих из анализа полученного уравнения.

Определение. Направляющим вектором прямой ℓ называется любой вектор, параллельный этой прямой.

Из этого определения следует, что у данной прямой существует не один, а целое множество коллинеарных между собой векторов, являющихся направляющими векторами этой прямой.

а ) Уравнение прямой, заданной точкой и направляющим вектором.

Поставим перед собой задачу получить уравнение прямой.

Рис.7

Введём на плоскости аффинную систему координат R=(О, ) и рассмотрим прямую ℓ, заданную точкой М_о(х_о,у_о) и вектором параллельным ей.

Рис.8

В этом случае положение прямой ℓ на плоскости определяется единственным образом.

Пусть точка М(x;y) − произвольная точка прямой ℓ. Очевидно, что точка М(x,y) тогда и только тогда, когда векторы и параллельны. => . Координаты вектора и вектора

( ) известны, =>

(5)

Уравнение (5) называется уравнением прямой заданной точкой и направляющим вектором или каноническим уравнением прямой.

б ) Параметрические уравнения прямой.

Заметим, что уравнения (5) можно записать в виде :

или (6) .

Уравнения (6) называются параметрическими уравнениями прямой.

в ) Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Согласно аксиомам планиметрии через две точки плоскости проходит единственная прямая.

Пусть на плоскости введена аффинная система R=(О, ) координат и даны две точки, которые имеют координаты М₁(х₁;у₁) и М₂ (х₂;у₂). (Рис. 8.)

В этом случае в качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор .

Рис.8

Таким образом направляющий вектор прямой ℓ = = =( ). Уравнение прямой (М₁М₂) в этом случае запишется в виде:

(7)

Уравнение (7) называется уравнением прямой проходящей через две точки.

в ) Уравнение прямой, с угловым коэффициентом.

Пусть на плоскости в дана аффинная система координат R=(О, ) и дана прямая ℓ, пересекающая ось ординат.

Если − направляющий вектор прямой, то и не коллинеарны, поэтому .

Рис.9

Число называется угловым коэффициентом прямой ℓ. Заметим, что угловой коэффициент прямой не зависит от выбора направляющего вектора прямой. Действительно, если − другой направляющий вектор прямой ℓ, то поэтому координаты векторов и пропорциональны .

Пусть k − коэффициент прямой ℓ, координат R=(О, ). Очевидно, что если направляющий вектор прямой ℓ, то вектор является направляющим вектором этой прямой. Поэтому уравнение (5) можно записать в виде или .

Если в качестве точки М(х₀;у₀) взять точку В(0;b), то последнее уравнение примет вид

(8)

Это уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Угловой коэффициент k прямой имеет простой геометрический смысл, если прямая задана в прямоугольной системе координат R(O, ).

Рис.10

В самом деле, если направляющий вектор прямой ℓ , то , где . Таким образом, . Последнее соотношение показывает, что в прямоугольной системе координат угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона прямой к оси Ох.

в ) Уравнение прямой, заданной точкой и вектором нормали.

Определение. Вектор перпендикулярный плоскости α называется вектором нормали плоскости α.

Очевидно, что существует множество векторов нормали для конкретной прямой, все они коллинеарны между собой.

Задача составления уравнения прямой, заданной точкой и вектором нормали, является метрической задачей. Метрические задачи обычно рассматриваются в прямоугольной системе координат.

Введём на плоскости прямоугольную систему координат R(O, ). В которой зададим точку М₀, вектор и рассмотрим прямую, проходящую через точку М₀ перпендикулярно вектору .

Рис. 11

Очевидно, что произвольная точка М принадлежит прямой ℓ тогда и только тогда когда . Условием перпендикулярности векторов является равенство нулю их скалярного произведения. Учитывая то, что получаем:

(9)

Уравнение (9) называется уравнением плоскости, заданной точкой М_о(х_о,у_о) и вектором нормали _.

Лекция №3