ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ»

МЕТОД КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ

методическое пособие

для студентов дневного и заочного отделений

физико-математического факультета

Воронеж 2013

УДК 513 (075.8)

Составитель:

Кандидат физико-математических наук, доцент Н.А. Заварзина

Учебно-методическое пособие для студентов дневного и заочного отделений физико-математического факультета /сост.: Заварзина Н.А.−

Воронежский госпедуниверситет, 2011− 55с.

Учебно-методическое пособие представляет собой курс лекций и практических занятий по теме « Преобразования плоскости ». Оно является первой частью и включает в себя только вопросы, связанные с движениями

плоскости. Пособие состоит из трёх частей. Первая часть содержит общие сведения о преобразованиях плоскости. Во второй части подробно излагается теоретический материал о движениях плоскости и основные свойства частных видов движений. Третья часть пособия содержит практический материал, в котором содержатся задания для определения степени усвоения теоретического материала, решение конкретных задач на доказательство с применением основных свойств движений плоскости и задачи для самостоятельного решения.

Предназначается для студентов дневного и заочного отделений физико-математического факультета Воронежского госпедуниверситета.

© Заварзина Н.А., составление, 2013

Содержание

§1. Общие сведения о преобразовании плоскости………………………. 3

1.1Отображения и преобразования множеств…………………………….. 3

1.2 Преобразование плоскости……………………………………………. 6

1.3 Композиция преобразований плоскости……………………………… 7

1.4 Группа преобразований………………………………………………... 9

§2. Движение плоскости…………………………………………………. 10

2.1 Определение движения плоскости……………………………………. 10

2.2 Теорема о существовании движения плоскости……………………… 10

2.3 Два вида движений. Аналитическое задание движения…………….... 11

2.4 Частные виды движения плоскости………………………………….. 12

§3. Классификация движений…………………………………………… 22

3.1 Теоремы о неподвижных точках и неподвижных прямых

при движении……………………………………………………………. 22

3.2 Классификация движений первого рода………………………………..24

3.3 Классификация движений второго рода………………………………. 25

§4. Группа движений плоскости и её подгруппы………………………….27

§5. Система заданий, контролирующих усвоение теоретического

материала……………………………………………………………….. 29

0. 5.1Задания для определения вида преобразования плоскости по его

свойствам…………………………………………………………………29

0. 5.2Задачи на выделение элементов, определяющих движение

плоскости…………………………………………………………………32

§6.Применение преобразований плоскости к решению задач на

доказательство…………………………………………………………….44

0. 6.1Параллельный перенос…………………………………………………...44

1. 6.2Поворот плоскости……………………………………………………….45

2. 6.3Центральная симметрия………………………………………………….46

3. 6.4Осевая симметрия………………………………………………………...47

4. 6.5Задачи для самостоятельного решения…………………………………48

6.6Варианты контрольных работ………………………………………….. 50

6.6 Ответы…………………………………………………………………….57

Литература………………………………………………………………………58

Метод координат на плоскости

Лекция №1

§1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости.

1. Аффинная система координат на плоскости.

Определение. Аффинным репером на плоскости называют упорядоченную тройку точек О, А₁, А₂ плоскости, не лежащих на одной прямой.

Если на плоскости задан аффинный репер R={ О, А₁, А₂} , то говорят что на плоскости задана аффинная система координат.

Рис. 1.

Точка О называется началом системы координат. Векторы , образующие неколлинеарную систему векторов являются базисом пространства V₂ и называются базисными векторами данной системы координат или базисом данного репера R={О, А₁, А₂}. Таким образом, репер R={О,А₁,А₂}, можно задавать точкой О и базисными векторами . В этом случае аффинная система координат на плоскости обозначается R=(О ). Векторы называют координатными или базисными векторами аффинной системы координат ( -первый координатный вектор, - второй). Направленные прямые, проходящие через начало координат и параллельные координатным векторам, на которых положительные направления определяются этими векторами, называются координатными осями. Оси, параллельные векторам , называются соответственно осями абсцисс и ординат и обозначаются так: . Иногда систему координат О обозначают через Оху.

Если ; ; и │ │=│ │=│ │= 1, то репер называют прямоугольным, а систему координат называют прямоугольной или декартовой системой координат и обозначают R = ( O, ), где │ │=│ │. В этом случае система координат изображается следующим образом.

Рис. 2.

2. Координаты точки на плоскости.

Пусть на плоскости введена аффинная система координат − (О ), а М – произвольная точка пространства.

Рис.3

Определение. Вектор называется радиус-вектором точки М.

Система векторов , является линейно зависимой. Это означает, что вектор можно представить в виде: . (1)

Определение. Коэффициенты x и y в разложении вектора по векторам базиса данной системы координат называются координатами точки М в системе координат R= (О ).

Число х называется абсциссой точки М, у – ординатой точки М. Записывается это следующим образом: М(x,y).

Другими словами, координатами точки М в системе (О ) называются координаты её радиус−вектора в базисе данного репера R=(О, ).

Для построения т. М(x,y,z) по её координатам в системе координат (О, , ) воспользуемся формулой (1). От начала координат О отложим вектор = =x , затем от т.М₁ отложим вектор . (рис.4)

Рис.4

По правилу треугольника = = x + y . Таким образом, М – искомая точка. Ломаную называют координатной ломанной т. М. Итак, для построения точки М достаточно построить её координатную ломанную. Каждое звено имеет длину, равную соответствующей координате, если единицей измерения является длина соответствующего базисного вектора.