§5. Угол между двумя прямыми в пространстве.

Об угле между прямыми в пространстве можно говорить в двух случаях: если прямые пересекаются и если они скрещиваются.

Пересекающиеся прямые ℓ и ℓ₁ образуют две пары вертикальных углов. В этом случае углом между прямыми называют один из пары меньших вертикальных углов.

Если прямые скрещиваются (ℓ₂ и ℓ₃ ), то в углом между прямыми называется угол между пересекающимися прямыми (ℓ₂ и m ), который получается в результате параллельного переноса одной из прямых ( ℓ₃ ) так, чтобы она пересекала вторую прямую.

В обоих случаях, угол между прямыми равен углу между направляющими векторами этих прямых или 180⁰ - .

Пусть направляющие вектора прямых заданы своими координатами и . Тогда для вычисления величины угла между прямыми получаем формулу:

(21)

§6. Взаимное расположение прямой и плоскости

Пусть d – прямая. Точка d и направляющий вектор . Плоскость α задана уравнением:

Возможны следующие случаи взаимного расположения прямой и плоскости:

1. Прямая пересекает плоскость, то есть: d ∩α = N. В этом случае прямая и плоскость имеют одну общую точку.

Рис. 17

2. Прямая параллельна плоскости, то есть: d || α. В этом случае прямая и плоскость не имеют общих точек.

Рис. 18

3. Прямая лежит в плоскости, то есть: d α. В этом случае прямая и плоскость имеют бесчисленное множество общих точек.

Рис. 19

Таким образом, задача о взаимном расположении прямой и плоскости сводится к вопросу о существовании общих точек, принадлежащих как прямой, так и плоскости. Это значит, что координаты этих точек должны удовлетворять как уравнению плоскости, так и уравнениям прямой, то есть являться решением системы уравнений:

.

Для решения этой системы уравнений относительно трёх неизвестных х,у и z, запишем её в виде:

Для решения полученной системы четырёх уравнений относительно четырёх уравнений, сведём её к одному уравнению относительно одной переменной t. Для этого выражения для x, y и z последних уравнений подставим в первое уравнение. Таким образом получаем уравнение для определения параметра t, соответствующего точки пересечения прямой d и плоскости : (22)

Уравнение(21) имеет единственное решение, если

(23)

Условие (23) является условием пересечения прямой и плоскости.

и

Если в уравнении (22)

(24) ,

то оно не имеет решения. Таким образом, условие (24) является условием параллельности прямой и плоскости.

и

Если в уравнении (22)

(25) ,

то оно имеет бесчисленное множество решений. Таким образом,

условие (25) является условием принадлежности прямой плоскости.

Выясним, каков геометрический смысл условий (22), (23) и (24).

1) Условие (23): означает, что скалярное произведение направляющего вектора и вектора нормали отличен от нуля, что означает что направляющий вектор прямой не параллелен α.

и

2) В условии (24):

первое соотношение означает, что скалярное произведение направляющего вектора прямой и вектора нормали равно нулю => направляющий вектор прямой параллелен плоскости α. Второе соотношение означает, что точка М₀(x₀,y₀,z₀) не принадлежит плоскости α.

и

3) В условии (25):

первое соотношение означает, что скалярное произведение направляющего вектора прямой и вектора нормали равно нулю => направляющий вектор прямой параллелен плоскости α. Второе соотношение означает, что точка М₀(x₀,y₀,z₀) принадлежит плоскости α.

Пример.

Определить каково расположение прямой и плоскости, заданных в аффинной системе координат уравнениями:

.

Решение

Находим координаты (0;-1;3) и (10;-4;-6). Проверяем условие (22) Имеем . => Прямая или параллельна плоскости, или принадлежит плоскости. Проверяем второе условие параллельности прямой плоскости . => Прямая параллельна плоскости.