7.3. Алгоритм решения транспортной задачи

Для транспортных задач разработано много методов решения. Можно назвать такие как: распределительный – метод дифференцированных рент, венгерский метод – метод потенциалов. Отличаются они показателями оценки качества плана и алгоритмами вычислений.

В данных материалах ограничимся рассмотрением алгоритма решения задачи методом потенциалов бездоказательно о преимуществах и недостатках метода по отношению к другим. При этом, изложение предложений метода проведено с их иллюстраций на конкретном примере, предметная постановка которого сформулирована ниже. Пример взят из источника [ ], поскольку он позволяет провести решение при минимальном числе операций и, одновременно, охватить особые случаи важные в практическом отношении, в частности, когда модель открытая и имеется другой альтернативный оптимальный вариант решения.

Пример.

Четырем предприятиям В₁, В₂, В₃, В₄ нужна продукция в количестве в₁ = 100 т, в₂ = 150 т, в₃ = 150 т, в₄ = 75 т соответственно. Запасы продукции сосредоточены в трех пунктах хранения А₁, А₂, А₃ в количестве а₁ = 200 т, а₂ = 150 т, а₃ = 250 т соответственно. Известны транспортные издержки за доставку 1т продукции (см. Таблицу 22).

Таблица 22.

Транспортные издержки за 1 т груза с_ij [ у.ед.\ т]

Пункты хранения (Аi)	Пункты спроса (Вj)
	В1	В2	В3	В4
А1	4	2	3	1
А2	3	6	2	5
А3	6	3	4	2

Требуется найти план перевозок, при котором общие транспортные издержки на поставку продукции были бы минимальны.

7.4. Алгоритм метода потенциалов

1. Оцениваются суммарный запас и спрос (см. раздел 5.1.)

= 200 + 250 + 150 = 600 т,

= 100 + 150 + 150 + 75 = 475 т

2. Если модель открытая, то она приводится к закрытой, вводя фиктивного поставщика или потребителя.

В примере модель открытая так как



и следует ввести фиктивного потребителя В5, для которого количество продукции в5 составит величину

b₅ = - = 600 – 475 = 125 т

При этом, транспортные издержки для фиктивных запасов или потребностей включаются в задачу с нулевыми оценками.

Таким образом, в рассматриваемом примере с₁₅ = с₂₅ = с₃₅ = 0.

3. Составляется расчетная таблица с первым опорным планом, который можно найти несколькими способами. Например, методом северо-западного угла (С-3), методом «наименьшего» элемента (наименьших издержек) и другими.

Общее для них то, что все они строятся на основании простой логики распределения продукции между поставщиками и потребителями и потому понятны. В каждом конкретном случае можно определить и выбрать более рациональный. При ограниченном числе поставщиков m и потребителей n , близким к оптимальному может быть опорный план, построенный по методу наименьшего элемента. Однако, когда числа m и n большие, удобнее использовать метод северо-западного угла. Логика построения этим методом проста. Проще он и с точки зрения программной реализации на ЭВМ.

Поэтому ниже приводится первая расчетная Таблица 23 с первым опорным планом, построенным по методу С-3.

Схема построения такова.

Устанавливается очередность получателей продукции, а также очередность среди поставщиков в соответствии с их порядковыми номерами:

В₁, В₂, …, В_j, …, В_n – для потребителей,

А₁, А₂, …, А_i, …, А_m - для поставщиков.

В начале удовлетворяют запросы первого потребителя В₁, в объеме в₁, подключая первого поставщика А₁ с его запасами а₁. Если в задаче в₁ а₁, то первый потребитель полностью удовлетворяется, а остаток ₁ = а₁ – в₁ предназначается следующему очередному потребителю В₂. Если в₂ ₁, то остаток ₂ = ₁ – в₂ передается третьему и т.д.

В примере этот случай: от первого поставщика продукция в объеме 100 т выделяется первому потребителю, а остаток ₁= а₁ – в₁ = 200 – 100 = 100 т поставляется второму потребителю В₂. Для удовлетворения запросов второго потребителя подключают поставку от второго поставщика в объеме ₂ = в₂ - ₁ = 150 – 100 = 150 т.

Остаток запасов второго поставщика в объеме 100 т идет на поставку третьему потребителю В₃ и т.д.

По такой же схеме проводится распределение продукции в других случаях. При этом, следует выполнять условие, что каждый потребитель полностью удовлетворяется в соответствии с его очередностью за счет запасов поставщиков, которые осуществляют поставки также строго по очередности.

Общее число заполненных клеток должно быть равно числу, определяемому по формуле:

m + n – 1,

где m – число строк; n – число столбцов.

Если меньше, то план считается вырожденным.

Для преодоления вырожденности одну из свободных клеток заполняют поставкой равной нулю (x_ij = 0). При этом, выбранная клетка не должна образовывать замкнутый контур с другими занятыми клетками таблицы, как последовательность занятых клеток, соединенных ломанной линии, состоящей из отрезков, под углом 90° в точках излома.

План в Таблице 23 не вырожденный. В соответствии с формулой, число занятых клеток m + n – 1 = 7.

4. При невырожденном плане проводится его проверка на оптимальность. Если план не оптимальный, тогда с помощью алгоритма метода потенциалов его улучшают. С этой целью необходимо произвести следующие расчеты.

4.1. По занятым клеткам рассчитывают потенциалы строк и столбцов по формуле (36). Задавая значения для одной из неизвестных находят значения другой и записывают в Таблицу 23:

U_i + V_j = c_ij (36)

В формуле (36) U_i принято называть потенциалом поставщика i

(потенциалом строки i), V_j – потенциалом потребителя j (потенциалом столбца j).

При опорном плане, построенном методом С-З угла для первой таблицы всегда клетка 1.1 будет занятой. Поэтому расчет потенциалов удобно начинать с этой клетки, назначая потенциал первой строки или первого столбца. Например, при U_i = 0 , V₁ = c₁₁ – V₁ = c₁₁ . Далее в соответствии с имеющейся схемой распределения запасов проводится расчет потенциалов для всех занятых клеток.

При плане Таблицы 23 и U₁ = 0 потенциал первого столбца определится как V₁ = c₁₁ – U₁ = 4 – 0 = 4.

Соответственно определится V₂ = c₁₂ – U₁ = 2 – 0 = 2.

При найденном потенциале второго столбца V₂ определяется потенциал второй строки : U₂ = c₁₂ – V₂ = 6 – 2 = 4. Далее, следуя этой схеме проводится расчет других потенциалов : V₃, U₃, V₄, V₅.

V₃ = c₂₃ – U₂ = 2 – 4 = -2,

U₃ = c₃₃ – V₃ = 4 – (-2) = 6,

V₄ = c₃₄ – U₃ = 2 – 6 = -4,

V₅ = c₃₅ – U₃ = 0 – 6 = -6.

4.2. С помощью потенциалов исследуется план на оптимальность по значениям характеристик свободных клеток L_ij, рассчитываемых по формуле (37)

L_ij = c_ij – (U_i + V_j) (37)

Эта характеристика указывает, какую экономию можно получить по сравнению с предыдущим планом, если провести перераспределение. При минимизации целевой функции возможность улучшения имеется в том случае, если имеется хотя бы одна свободная клетка для которой характеристика имеет отрицательное значение.

План будет оптимальным в том случае, когда для всех свободных клеток L_ij  0, если речь идет о минимизации.

При максимизации ситуация противоположная. План можно улучшить при наличии клетки (клеток) с L_ij > 0, а оптимальным он будет, когда все L_ij ≤ 0.

Таким образом, признаком оптимальности плана являются следующие условия:

при min Z  L_ij ≥ 0,

при max Z  L_ij ≤ 0.

По плану Таблицы 23 расчетные значения характеристик для свободных клеток приведены ниже:

L₂₁ = c₂₁ – (U₂ + U₁) = 3 – (4 + 4) = -5,

L₃₁ = c₃₁ – (U₃ + V₁) = 6 – (6 + 4) = -4,

L₃₂ = c₃₂ – (U₃ + V₂) = 3 – (6 + 2) = -5,

L₁₃ = c₁₃ – (U₁ + V₃) = 3 – (0 – 2) = 5, (38)

L₁₄ = c₁₄ – (U₁ + V₄) = 1 – (0 – 4) = 5,

L₂₄ = c₂₄ – (U₂ + V₄) = 5 – (4 – 4) = 5,

L₁₅ = c₁₅ – (U₁ + V₅) = 0 – (0 – 6) = 6,

L₂₅ = c₂₅ – (U₂ + V₅) = 0 – (4 – 6) = 2.

4.3. Если условия оптимальности не выполняется проводят улучшение плана.

При минимизации целевой функции среди клеток с отрицательными характеристиками выбирается клетка с максимальным по абсолютной величине отрицательным значением L_ij . Из этой клетки строится замкнутый контур (цепь) таким образом, чтобы вершины контура располагались в занятых клетках. Для этого по строке или столбцу проводится линия до занятой клетки, затем под углом 900 линия проводится до следующей занятой клетки и так до тех пор, пока цепь не замкнется в исходной клетке с L_ij .

Такая процедура определяется понятием – цикл в транспортной задаче.

При максимизации за начало построения контура выбирается клетка с максимальной положительной характеристикой L_ij и контур строится по тем же правилам, о которых шла речь выше.

Рис. 3. Простейшие контуры

Простейшие контуры, как иллюстрация, приведены на Рис. 3, где буквами обозначены объемы продукции в этих клетках.

4.4. В вершинах контура в свободной клетке ( исходной) ставится знак + , далее - , чередуя эти знаки по вершинам. Среди клеток со знаком «минус» выбирается минимальная величина поставки P_min, которая назначается для перемещения. Там, где знак «плюс» она прибавляется, а где «минус» – вычитается. В результате исходная клетка становится занятой, а клетка, из которой выбрана минимальная поставка, будет свободной.

В случае, если имеется несколько клеток с минимальной поставкой, то свободной становится клетка с максимальной ( при решении на максимум – минимальной) оценкой, а в остальных клетках после вычитания P_min будут содержаться нули.

Таким образом, составляется новый план распределения, который вновь оценивается на оптимальность по алгоритму, начиная с пункта 4.1. с расчетов потенциалов.

В Таблице 24 приведен улучшенный план по сравнению с первоначальным Таблицы 23. При этом из совокупности клеток с отрицательными характеристиками, претендующих на исходную клетку контура ( клетки 2-1 и 3-2), выбрана клетка 2-1 с L₂₁ = -5. При выполнении работы можно взять любую клетку из претендующих. Максимальная величина перемещаемой поставки в примере составляет P_min = 50 т. Для улучшенного плана Таблица 24 общие затраты на транспортные операции составляют 1200 у.ед. В результате экономический эффект от нового плана равен:

∆Z = Z₁ – Z₂ = 1450 – 1200 = 250 у.ед.

Составленный план получается оптимальным. Данные к анализу этого плана приведены в Таблице 24 по потенциалам строк, столбцов, и ниже – по характеристикам свободных клеток L_ij.

Расчетные характеристики к Таблице 24:

L₃₁ = c₃₁ – (U₃ + V₁) = 6 – (1 + 4) = 1,

L₂₂ = c₂₂ – (U₂ + V₂) = 6 – ( -1 + 2) = 5,

L₃₂ = c₃₂ – (U₃ + V₂) = 3 – (1 + 2 ) = 0,

L₁₃ = c₁₃ – (U₃ + V₂) = 3 – (1 + 2) = 0,

L₁₄ = c₁₄ – (U₁ + V₄) = 1 – (0 + 1) = 0, L_ij ≥ 0

L₂₄ = c₂₄ – (U₂ + V₄) = 5 – (-1 + 1) = 5,

L₁₅ = c₁₅ – (U₁ + V₅) = 0 – (0 – 10) = 1,

L₂₅ = c₂₅ – (U₂ + V₅) = 0 – (-1 – 1) = 2.

Кроме разностного метода эффективность улучшенного плана по отношению к предыдущему может быть определена с помощью формулы:

∆Z = | max L_{ij -} | * P_min - при решении задачи на минимизацию Z

и

∆Z = max L_{ij +} * P_min - если решается на максимум Z.

Так эффективность улучшенного плана Таблицы 24 по отношению к опорному варианту Таблицы 23 составит:

ΔZ = |-5| * 50 = 250 у.ед.