6.4. Экономическая интерпретация прямой и двойственной задачи

Для иллюстрации можно рассмотреть задачу производственного планирования, характерную для предприятий, выпускающих продукцию. В общих чертах её содержания следующее:

Предприятие располагает m видами ресурсов ( 1, 2, ... , i , ... , m ), позволяющими производить на их основе n видов готовой продукции

( 1, 2, ... , j, ... , n ). Запасы каждого вида ресурса известны и составляют в_i единиц ( i = 1, 2, ... , m ). На производство j-й единицы продукции расходуется а_ij единиц i-о ресурса. Доход от реализации единицы j-й продукции равен с_j единиц.

Требуется решить задачу – что и в каком объеме производить, чтобы суммарная стоимость от реализации выпускаемой продукции была максимальной.

В математической форме поставленная экономическая задача запишется в виде модели (20).

Возможна другая постановка задачи, которая представляет практический интерес, например ресурсы направить на продажу, а не на изготовление продукции. Нужно определить такую минимальную цену y_i за единицу ресурса каждого вида, чтоб доход от реализации всех запасов ресурсов был бы не меньше дохода от реализации всей продукции, которая может быть изготовлена из этих ресурсов.

Сохраняя тот же экономический смысл величин: в_i; а_ij; c_j; i=1,..., m; j=1,...,n можно понять экономическую интерпретацию двойственной задачи (21). При цене у_i ≥ 0 единицы ресурса i – о вида левые части ограничений двойственной задачи (21) представляют собой величину дохода от продажи ресурсов i = 1,..., m в объеме необходимом для изготовления единицы продукции j –о вида.

При этом доход от продажи всех ресурсов (это целевая функция в двойственной задаче) определяется как сумма

Если доход от продажи ресурсов, в объеме необходимом для изготовления единицы продукции вида j, а стоимость единицы готовой продукции этого вида c_j , то очевидно, назначение цен за единицу ресурса у_i должно производиться из условия, что а_ijy_i ≥ c_j , j = 1, ..., n .

При такой стратегии цен будут удовлетворятся интересы продавца ресурсов. С другой стороны, интересы покупателя ресурсов (сырья) максимально обеспечиваются при ценах, которые будут минимизировать суммарную стоимость ресурсов (сырья) . В итоге двойственная задача с изложенной экономической интерпретацией принимает вид.

min W = ,

 c_j , j =1, ...,n

y_i ≥ 0

6.5. Первая теорема двойственности. Леммы и следствия.

Эта теория связей между прямой и двойственной задачами, позволяющая полнее раскрыть практические аспекты при её использовании.

В настоящем разделе даются формулировки теоремы и лемм без доказательства их утверждений, поскольку учебным планом не предусматриваются. Следует отметить, что в учебной и научной литературе приводятся различные методы доказательств, в том числе использующие процедуры симплексного метода.

Первая теорема двойственности представляет основную суть результата теории двойственных задач и, вообще, теории линейного программирования. Теорема формулируется так :

если прямая и двойственная задачи допустимы, то они имеют оптимальные решения, причем значения их целевых функций равны.

Лемма 1. Для любых допустимых планов , прямой и двойственной задач справедливо неравенство

.

Это неравенство называют основным неравенством теории двойственности.

Лемма 2. Если для некоторых допустимых планов , пары двойственных задач выполняется равенство

,

то векторы и являются оптимальными планами соответствующих прямой и двойственной задач.

Следствие 1. Если одна из двойственных задач имеет оптимальное решение, то имеет оптимальное решение и другая

.

Следствие 2. Если одна из двойственных задач допустима, а вторая недопустима, то целевая функция первой задачи не ограничена.

Для иллюстрации теории ниже приводится пример построению и решению простейшей пары симметричных взаимодвойственных задач. В примере в качестве прямой задачи рассматривается задача линейного программирования с естественным базисом, сформулированная выше в разделе.

max Z = 48x₁ + 42x₂ + 48x₃ ,

x₁ + x₂ + x₃ ≤ 2000,

9.6x₁ + 7x₂ + 7.2x₃ ≤ 14600 , (25)

0.6x₁ + 0.4x₂ + 0.8x₃≤ 1600,

x₁ ≥ 0 , x₂ ≥ 0, x₃ ≥ 0

Решение этой задачи показано в симплексных таблицах, из которых третья симплексная таблица соответствует оптимальному плану: х₃ = 1920, х₁ = 80, х₆ = 18, х₂ = 0, х₄ = 0, х₅ = 0 и Z = 96000.

Таблица 13

Прямая задача (25) . Первая симплексная таблица

№№	Базис	Оценка сj	Свобод Чл. bi	48	42	48		Симплекс отношен.
				x1	x2	x3
1	x4	0	2000	1	1	1		2000
2	x5	0	14600	9,6	7	7,2		1520,8
3	x6	0	1600	0,6	0,4	0,8		2670
	Z		0	-48	-42	-48

Таблица 14

Прямая задача (25) . Вторая симплексная таблица

N	Базис	Оценки	Свободные члены	48	42	48	Симплекс. отношен.
				х1	х2	х3
1	х4	0	479,2	-0,1	0,27	0,25	1920
2	х1	48	520,8	0,1	0,73	0,75	2030
3	х6	0	687,5	-0,62	0	0,35	1960
	Z		0	-48	-7	-12

Таблица 15

Прямая задача (25) . Третья симплексная таблица

N	Базис	Оценки	Свободные члены	48	42	48	Симплекс. отношен.
				х1	х2	х3
1	х3	0	1920	-0,4	1,1	4	-
2	х1	48	80	0,4	-0,1	-3	-
3	х6	0	15	-0,48	-0,386	-1,4	-
	Z		96000	0,2	6,2	48	-

По отношению к прямой задаче двойственная задача получается следующего вида:

min W = 2000y_i + 14600y₂ + 1600y₃

y₁ + 9.6y₂ + 0.6y₃  48,

y₁ + 7.0y₂ + 0.4y₃  42, (26)

y₁ + 7.2y₂ + 0.8y₃  48,

y₁  0, y₂  0, y₃  0.

Решение двойственной задачи симплексным методом показана в таблицах. Отсутствие в строке (m+1) пятой симплекс-таблицы в небазисных столбцах положительных элементов является признаком оптимальности решения задачи.

Таблица 16

Двойственная задача (26). Первая симплексная таблица

№	Базис	Оценки	Свободные члены	2000	14600	1600	0	0	0	Симплекс. отношен.
				y1	y2	y3	y4	y5	y6
1	x1	M	48	1	9,6	0,6	-1	0	0	5
2	x2	M	42	1	7	0,4	0	-1	0	6
3	x3	M	48	1	7,2	0,8	0	0	-1	6.66
m+1		Z	0	-2000	-14600	-1600	0	0	0
m+2		F	138	3	23,8	1,8	-1	-1	-1

Таблица 17

Двойственная задача (26). Вторая симплексная таблица

№	Базис	Оценки	Свободные члены	2000	М	1600	0	0	0	Симплекс. отнош.
				y1	y2	y3	y4	y5	y6
1	у1	14600	5	0,104		0,0625	-0,104	0	0	5
2	x2	M	7	0,272		-0,0375	0,728	-1	0	9.61
3	x3	M	12	0,252		0,35	0,748	0	-1	16.04
m+1		Z	7300	-481,6		-687,5	-1518,4	0	0
m+2		F	19	0,524		0,312	1,475	-1	-1

Таблица 18

Двойственная задача (26). Третья симплексная таблица

№	Базис	Оценки	Свободные члены	2000	1600	М	0	0	Симплекс. отношен.
				y1	y3	х2	y5	y6
1	у2	14600	6	0.1428	0.0678		-0.1428	0	-
2	у4	0	9.61	0.373	0.0515		-1.379	0	-
3	x3	M	4.81	-0.0260	0.301		1.028	-1	4.67
m+1		Z	87591	84.7	-752.8		-2087.8	0
m+2		F	4.81	-0.026	0.301		1.028	-1

Таблица 19

Двойственная задача (26). Четвертая симплексная таблица

№	Базис	Оценки	Свободные члены	2000	1600	0	0	Симплекс. отношен.
				y1	y3	х3	y6
1	у2	14600	6,663	0,138	0,111		-0,138	48.30
2	у4	0	16,01	0,336	0,469		-1,34	47.64
3	у5	0	4,67	-0,0265	0,306		-0,972	-
m +1		Z	97341	31,9	-124,8		-2015
m +2		F	0	0	0		0

Таблица 20

Двойственная задача (26). Пятая симплексная таблица

№	Базис	Оценки	Свободные члены	2000	1600	0	Симплекс. отношен.
				y4	y3	y6
1	у2	14600	0.089	-0.41	-0.081	0.688	-
2	у1	2000	48	-2.97	1.395	-3.99	-
3	у5	0	5.93	0.0788	0.342	-1.077	-
m +1		Z	96000	-95	-169.3	-1887.7

В симплекс-таблицах двойственной задачи (26)

у₁ , у₂ , у₃ - основные переменные (двойственные оценки по отношению к прямой задаче (25)),

у₃ , у₅ , у₆ - дополнительные переменные,

х₁ , х₂ , х₃ - искусственные.

Пятая комплексная таблица является практически отражением положений первой теоремы двойственности о том, что следовало ожидать в результате решения двойственной задачи : получено оптимальное решение и значение целевой функции равно значению целевой функции при оптимальном плане в прямой задаче

max Z = min W = 9600.

В заключении следует отметить практическую ценность этого свойства взаимодвойственных задач, так как оно позволяет наглядно и в количественных показателях формировать пути повышения эффективности использования располагаемых ресурсов, ориентируясь на полученные значения переменных у_i в двойственной задаче. В связи с чем эти новые переменные получили название двойственных оценок, подчеркивающее их значимость.

Из приведенного примера пары взаимодвойственных задач линейного программирования следует, что рост целевой функции max Z может быть обеспечен за счет изыскания дополнительно к 2000 га пахотных земель. Каждый гектар пашни дает прибавку прибыли в 48 у.ед. ( у₁ = 48).

К другим ресурсам целевая функция не критична (у₂ = 0.089, у₃ = 0). Исходя из этого и должна строится оптимальная стратегия управления ресурсами.