19.2. Розрахунок міцності згинальних елементів за нормальними перерізами.

Дослідами встановлено, що гранично рівноважний стан балки за несучою здатністю характеризується руйнуванням у перерізі, нормальному до осі елемента, або у нахиленому перерізі (рис. 19.6).

Руйнування за нормальним перерізом зумовлене дією згинального моменту, а за нахиленим перерізом – діями поперечних сил і, рідше, моментів.

У залізобетонних нормально армованих згинальних елементах руйнування починається з розтягнутої арматури. У так званих переармованих балках руйнування може початися зі стиснутого бетону; до того ж напруження у розтягнутій арматурі буде нижче від граничного, що економічно невигідно.

Відповідно розрізняють схеми руйнування׃

а) коли розрахунок здійснюють у припущенні, що першопричиною вичерпання міцності елемента буде досягнення у розтягнутій арматурі розрахункових опорів R_s;

б) коли міцність елемента вичерпується внаслідок руйнування стиснутої зони бетону раніше, як напруження у розтягнутій арматурі досягнутого розрахункового опору;

Отже, під час розрахунку на міцність згинальний момент від зовнішнього навантаження повинен бути менший від несучої здатності перерізу;

М М .

(19.1)

Для визначення внутрішніх зусиль, наприклад М , приймають метод перерізів. Умовно розрізуємо елемент на дві частини, одну з них (зазвичай праву) відкидаємо, а для збереження рівноваги замітимо дію відкинутої частини внутрішніми зусиллями. Отже, одержимо розрахункову схему, запишемо три умови рівноваги׃ для суми моментів всіх внутрішніх зусиль щодо якої-небудь характерної точки і для суми проекцій зусиль на повздовжню вісь Х і на поперечну вертикальну вісь Y׃

∑ М=0; ∑ Х=0; ∑ Y=0.

(19.2)

Розв’язуючи рівняння рівноваги, визначають внутрішнє зусилля, будують епюри і виводять розрахункові формули. Правило знаків, напрямів зусиль і видів деформацій такі׃ для лівої відрізаної частини і для цілого елемента зовнішні сили, внутрішні зусилля і деформації, спрямовані догори праворуч за годинниковою стрілкою, мають знак плюс, а спрямовані у низ ліворуч і проти годинникової стрілки – мінус.

Для правої частини знаки протилежні попередньому.

Отже, розтягуючи зовнішні сили, внутрішні зусилля і деформації наспрямовані в бік від елемента або від його відрізаної частини, а стискаючі – до елемента або до його відрізаної частини.

1.Переріз будь - якої симетричної форми. Несуча здатність згинальних елементів у граничному стані можна визначити із формул (19.1) – (19.2).

Виведемо розрахункові формули для елементів з перерізом будь-якої форми, симетричної щодо вертикальної осі (рис.19.7), враховуючи з умови рівноваги у граничному стані.

Арматура S у розтягнутій зоні має площу перерізу А_s , арматура S' у стиснутій зоні – площа перерізу A'_s.

У граничному стані напруження у бетоні стиснутої зони буде R_б. у розтягнутій арматурі R_s , у стиснутій арматурі R_s,c.

Введемо такі позначення׃

h – висота перерізу;

a – віддаль від розтягнутого краю перерізу до центра ваги площі розтягнутої арматури;

h₀ = h – a – робоча висота перерізу;

a – віддаль від стиснутого краю перерізу до центра ваги площі стиснутої арматури S ;

Рис. 19.4. Армування залізобетонних балок

Рис. 19.6. Руйнування балки по нормальному і похилому перерізу

x – висота стиснутої зони бетону;

A_b.c – площа стиснутої зони бетону ;

V – віддаль від стиснутого краю перерізу до нейтральної осі;

Z_b – віддаль від центра ваги площі стиснутої зони бетону до центра ваги площі всієї розтягнутої арматури, так зване плече внутрішньої пари зусиль.

Згідно з рис.19.7., рівнодійна стискальних зусиль у бетоні

N =N N .

(19.3)

Рівнодійна зусиль у стисненій арматурі S'

N '= R A '.

(19.4)

Рівнодійна зусиль у розтягнутій арматурі

N = R A .

(19.5)

Запишемо суму моментів всіх внутрішніх сил щодо точки прикладання рівнодійної зусиль у розтягнутій арматурі і, згідно з рівнянням рівноваги (19.2), прирівняємо її до нуля׃

M – N ·Z - N ' ( h - a' ),

або, використовуючи формули (19.3) – (19.5)׃

M = R A Z + R A' ( h - a' ) = 0.

Звідси одержимо умову міцності поперечного перерізу при згині у момент руйнування׃ максимальний розрахунковий згинальний момент М не повинен перевищувати алгебраїчної суми моментів внутрішніх розрахункових зусиль у стисненому бетоні і стисненій арматурі щодо центра ваги розтягнутої арматури

M ≤ R A Z + R A' ( h0 – a' ).

(19.7)

Добуток площі на віддаль від її центра ваги до моментної точки являє собою статичний момент площі. Тому позначивши

A Z = S' ; A' (h – a' ) = S' .

(19.8)

одержимо

M ≤ R S' + R S'

(19.9)

Для перерізу з одиничною арматурою A' = 0 ; тому

M ≤ R ·S'

(19.10)

Рис.19.7. До розрахункового згинаного елемента різної симетричної форми

Рис.19.8. Для розрахунку перерізу згинального елемента прямокутного форми з подвійною арматурою

Рис.19.9. Для розрахунку перерізу згинального елемента прямокутного форми з подвійною арматурою

За формулами (19.7), (19.9) або (19.10) розраховують поперечні перерізи згинальних елементів будь-якої симетричної форми з подвійним або одинарним армуванням. Якщо умови (19.7), (19.9) або (19.10) дотримуються, міцність перерізу достатня.

Запишемо тепер суму проекцій всіх внутрішніх сил на повздовжню вісь елемента ( див. рис. 19.7 ), тобто ∑х = 0 ׃

R A - R A' – R A = 0.

(19.11)

звідси

R A - R A' = R A .

(19.12)

У перерізах з одиночною арматурою R A' = 0 , тому

R A = R A

(19.13)

За формулою (19.12) визначають положення нейтральної осі і площу стисненої зони бетону.

Формули (19.8) і (19.12) справедливі, якщо переріз не переармовано і його руйнування починається за досягнення розрахункових напружень у розтягнутій арматурі.

Зі збільшенням кількості розтягнутої арматури, як зрозуміло із рівняння (3.13), площа стисненої зони бетону А і, також, висота стиснутої зони х збільшуються.

Відношення висоти стисненої зони х до робочої h₀ називають відносною висотою стиснутої зони бетону, х / h = ξ .

Очевидно, існує граничне значення ξ (і відповідне йому граничне армування), у разі перевищення якого руйнування елемента буде починатися вже не з розтягнутої арматури, а зі стисненої грані бетону.

Отже, розрахунок елементів за формулами (19.10) і (19.13), виконується, якщо

ξ = х / h0 ≤ ξ .

(19.14)

Досліди засвідчили, що ξ залежить від властивостей бетону і арматури. Із-за меншої пластичності бетону високих марок із збільшенням його міцності спостерігається раннє крихке руйнування стисненої зони бетону, що зумовлює зменшення ξ . Із збільшенням міцності арматури ξ також зменшується.

При ξ = ξ граничний стан елемента настає одночасно з досягненням у розтягнутій арматурі напруження, що дорівнює опору R , з урахуванням відповідних коефіцієнтів умов роботи арматури, за винятком, коефіцієнта γ _.

Значення ξ визначаємо за емпіричною формулою

ξ = /1 [1+ (δ / δ ) (1 – / 1.1)],

(19.15)

де w - характеристика стисненої зони бетону, яку визначаємо за формулою

= α – β R ,

(19.16)

де α – коефіцієнт, для важкого бетону, приймаємо таким, що дорівнює 0,85; дрібнозернистого – групи А – 0,8; групи Б, В – 0,75; легкого коміркового і пористого – 0,8; для важкого і легкого бетону, підданих авто плавному обробленню, коефіцієнт α знижується на 0,05; β – коефіцієнт, прийнятий таким, що дорівнює 0,008 незалежно від виду бетону; R – МПа ; δ – напруження у арматурі, МПа; приймаємо такими, що дорівнюють арматури класів׃ А – Ι – А – ΙΙΙ, В – Ι – R ; A– IV – A– IV, B – II, B_р– II, K – 7, K –19 R _s + 400, тут – розрахунковий опір арматури розтягу із врахуванням відповідних коефіцієнтів умов роботи арматури γ за винятком коефіцієнта γ_s6; граничне напруження у арматурі стиснутої зони, яке приймаємо при δ_s2 таким, що дорівнює 400 МПа , а для елементів із важкого дрібнозернистого, легкого і пористого бетонів. Якщо враховується коефіцієнт умов роботи γ_b2< 1, таким, що дорівнює 500 МПа.

2. Прямокутний переріз з одиничною арматурою. Для прямокутних перерізів завширшки b (рис. 19.8) площа стисненої зони бетону

A = bxI.

(19.17)

Рівнодійна стискувальних зусиль у бетоні N = R ·b·x ; рівнодійна розтягувальних зусиль у арматурі буде N = R ·A .

Рівнодійна стискувальних зусиль у бетоні прикладена у центрі ваги прямокутної епюри напружень. Тому плече внутрішньої пари

Z = h – 0,5x.

(19.18)

Умова міцності (19.7) і (19.10) набуде вигляду

M ≤ R ·b·x (h – 0.5 x).

(19.19)

або M ≤ R A (h – 0,5x).

Рівність внутрішніх зусиль N і N із умови рівноваги (19.13) запишемо так׃

R A = Sb – bx.

(19.20)

Звідси висота стисненої зони

x = (R A ) / (R – b)

(19.21)

або

ξ = x / h = (R A ) / (R b h ) = μ (R / R ),

(19.22)

де μ = A_s / b h₀ – коефіцієнт армування ( відношення площі розтягнутої арматури A_s до робочої площі перерізу b h₀).

Кількість арматури у перерізі можна виразити також через відсоток армування׃

μ % = (A /b·h ) ·100 %

Із формули (19.22) зрозуміло, що із збільшенням коефіцієнта армування μ відносна висота стисненої зони бетону ξ також збільшується. Підставляючи граничне значення відносної висоти стисненої зони бетону ξ у формулу (19.22), одержимо найбільший коефіцієнт армування

μ = ξ (R / R' ).

(19.23)

Разом з тим, норми обмежують і максимальний відсоток армування у згинальних елементах, який встановлений із умови рівноміцності армованого перерізу з неармованим, таким що дорівнює 0,05% від A /b·h . Якщо фактичний відсоток армування елемента нижче мінімуму, переріз потрібно розраховувати без врахування арматури, тобто як переріз неармованого бетонного елемента.

3. Розрахунок прямокутних перерізів за таблицями. Під час проектування елементів залізобетонних конструкцій, зазвичай, задаються коефіцієнтом армування ( відсотком армування ), після чого визначають розміри перерізу і кількість арматури. Такий розрахунок називають підбором перерізу елемента.

Відсотком армування задаються, зазвичай, враховуючи оптимальні значення величини, яка для плит коливається у межах 0,3 – 0,7%, а для балок і ригелів – 0,4 – 1,5%.

За допомогою перетворення формул розрахунок за підбором прямокутних перерізів зводиться до табличної форми.

Формулу (19.19 )можемо записати так׃

M = R bh [1 – 0,5 (x / h )] = R bh ξ (1 – 0,5ξ) = =A bh R ,

(19.24)

звідси

A = M / (b h R )

(19.25)

де

A = ξ (1– 0,5 ξ).

(19.26)

Складемо рівняння моментів щодо центра ваги стисненої зони бетону

M = R A Z = R A ηh

(19.27)

де η = Z / h .

Для прямокутного перерізу

η = (h – 0,5x) / h = 1 – 0,5ξ

(19.28)

Із формули (19.25)

h = .

(19.29)

Із формули (19.27)

A = M / (R ηh ) = M / (R Z ).

(19.30)

У табл. 19.1 значення наведені залежно від ξ.

У практичних розрахунках під час вибору перерізів залізобетонних елементів потрібно мати на увазі, що однакову несучу здатність можна забезпечити за різних розмірів перерізу і відповідних їм відсотків армування.

Рис. 19.10. Залізобетонні елементи таврового перерізу

Рис.19.11. Елементи таврового перерізу: а - другорядна балка ребристого перекриття; b - ребристі збірні панелі покрить і перекрить; c, d - перерізи таврових балок

Із формули (19.30), наприклад, очевидно, що із збільшенням h₀ розмір A_s зменшується. Під час проектування конструкцій, необхідно прагнути до найекономічнішог вирішення, за якого вартість конструкцій буде найменшою. Дослідження свідчать, що для балок ця вимога зберігається при ξ = 0.2…0.3, для плит – ξ = 0.1…0.25.

Граничний момент, який сприймається елементом з одиничним армуванням, за якого бетон стисненої зони не руйнується завчасно

Mmax = A max R ·b·h ,

(19.31)

де

A max = ξ (1 – 0.5 ξ ) .

(19.32)

Значення ξ обчислені за формулою (19.15), і A _max наведені у табл. 19.2.

Послідовність розрахунку згинальних елементів з одиночною арматурою показані на прикладах.

Приклад 19.1. Розрахувати монолітну плиту перекриття; розрахунковий згинальний момент гнучкості М=3500 м; бетон класу В20 (розрахунковий опір = 11,5 МПа); сталь класу А-І (розрахунковий опір = 225 МПа).

Потрібно визначити площу перерізу арматури

Розв’язок 1.Розрахункову ширину плити приймаємо b=100 см.

2. Приймаємо μ = 0,38 % , що відповідає середньому проценту армування плити.

За формулою (19.22)

.

3. За таблицею 19.1. при ξ = 0,078 (за інтерполяцією) знаходимо η = 0,961; = 0,075.

.

4. За формулою (19.29)

Таблиця 19.1.