Задача 59.

Через точку А провести нормаль к кривой m.

Построение нормали к кривой проходящей через точку А, не принадлежащую кривой m, можно выполнить следующим образом:

1. Проведем окружности а₁, а₂, а₃, а₄, разных радиусов с центром в точке А;

2. Отметим точки пересечения окружностей с кривой -1, 1₁, 2, 2₁, 3, 3₁, 4, 4₁;

3. Из концов хорд восстановим перпендикуляры (при этом перпендикуляры, восстановленные из точек 1, 2, 3, 4, имеют противоположное направление перпендикулярам, восстановленным из точек 1₁, 2₁, 3₁, 4₁);

4. На полученных перпендикулярах отложим отрезки, равные длине соответствующих хорд;

5. Полученные точки соединим плавной кривой l;

6. Пересечение кривых m и l определит положение точки К, через которую пройдет искомая нормаль n.

Построить центр кривизны кривой l в точке К.

Для графического нахождения центра кривизны кривой в заданной точке К можно использовать свойство, что окружность кривизны имеет общую точку с кривой l, нормалью n и касательной t - точку касания К.

Использую это свойство задача решается в следующем порядке:

1. Выбираем на кривой l ряд произвольных точек А, В, С, и т.д.;

2. Проведем через них полукасательные t_A, t_B, t_C  и т.д.;

3. Отложим на полукасательных равные отрезки произвольной длины, получим точки А₁, В₁, С₁ и т.д.;

4. Через полученные точки проведем плавную кривую l₁;

5. Касательная t к кривой l  в точке К пересекает эквитангенциальную кривую l₁ в точке К₁;

6. Проведем через К₁ нормаль n_К1 к кривой l₁, а через точку К - нормаль n_К к кривой l;

7. Точка пересечения нормалей О укажет положение центра кривизны для точки К кривой l, отрезок ОК=r_К (радиусу кривизны), а отношение k=1/r_K укажет кривизну кривой l в точке

Построить центр кривизны кривой l в точке К.

Для графического нахождения центра кривизны кривой в заданной точке К можно использовать свойство, что окружность кривизны имеет общую точку с кривой l, нормалью n и касательной t - точку касания К.

Использую это свойство задача решается в следующем порядке:

1. Выбираем на кривой l ряд произвольных точек А, В, С, и т.д.;

2. Проведем через них полукасательные t_A, t_B, t_C  и т.д.;

3. Отложим на полукасательных равные отрезки произвольной длины, получим точки А₁, В₁, С₁ и т.д.;

4. Через полученные точки проведем плавную кривую l₁;

5. Касательная t к кривой l  в точке К пересекает эквитангенциальную кривую l₁ в точке К₁;

6. Проведем через К₁ нормаль n_К1 к кривой l₁, а через точку К - нормаль n_К к кривой l;

7. Точка пересечения нормалей О укажет положение центра кривизны для точки К кривой l, отрезок ОК=r_К (радиусу кривизны), а отношение k=1/r_K укажет кривизну кривой l в точке К.