4. Движение связанных тел с учетом вращения блока

4.1. Основные теоретические сведения

При решении задач на движение связанных тел с учетом вращения блока нити можно считать невесомыми и нерастяжимыми, а момент сил трения в блоках можно не учитывать, если это не оговорено в условии задачи.

Прежде чем рассматривать решение конкретных задач с учетом вращения блока, авторы настоящих методических указания считают целесообразным привести некоторые типовые примеры. Общим в примерах является решение системы алгебраических уравнений, составленной из основных уравнений динамики поступательного и вращательного движений:

(4.1)

При условии, что нить при вращении блока движется без проскальзывания, можно предположить равенство ускорения поступательного движения точек нити и тангенциального ускорения точек обода вращающегося блока, т. е. С учетом уравнения (1.12) получаем:

(4.2)

где R – радиус блока.

Рассмотрим два примера вращения блока.

П р и м е р 1. Вращается блок, на который намотана нить с прикрепленным грузом массой m (рис. 4.1). Момент инерции блока относительно оси вращения равен I_z. На груз действуют силы тяжести и натяжения нити Будем рассматривать движение груза относительно системы отсчета, ось y которой направлена вертикально вниз. Груз движется равноускоренно. Уравнение движения груза (первое уравнение в системе (4.1)) в проекции на ось y имеет вид:

. (4.3)

Вращение блока будем рассматривать относительно оси z, которая нап-равлена по оси вращения «от нас» (см. рис. 4.1). На блок действуют силы тяжести , реакции опоры и натяжения нити Вращающий момент создает

только сила Моменты сил тяжести и реакции опоры равны нулю, поскольку эти силы проходят через центр вращения и, следовательно, плечо каждой из сил равно нулю. Блок вращается равноускоренно. Уравнение вращательного движения блока (второе уравнение в системе (4.1)) имеет вид:

(4.4)

Модуль момента силы равен произведению модуля силы на ее плечо, которое равно радиусу блока R. Благодаря невесо-мости нити силы натяжения и равны по модулю. Тогда с учетом формул (4.4) и (4.2) уравнение вращения блока можно записать в виде:

(4.5)

Система уравнений (4.1) принимает вид:

(4.6)

П р и м е р 2. Вращается блок, через который перекинута нить с прикрепленными с обоих концов грузами массой m₁ и m₂ (рис. 4.2). В данном примере все рассуждения проводятся аналогично рассуждениям, приведенным в примере 1, за исключением двух отличий. Первое отличие состоит в том, что вращающие моменты создают силы натяжения нитей и . Проекция момента силы на ось вращения z положительна, а силы – отрицательна. Тогда результирующий вращающий момент, приложенный к блоку, будет определяться по формуле:

. (4.7)

Перепишем уравнение (4.7) с учетом формулы (4.2):

(4.8)

Второе отличие состоит в том, что необходимо записать два уравнения динамики поступательного движения (для каждого груза), которые в проекции на ось y будут иметь вид:

(4.9)

Решая совместно уравнения (4.8) и (4.9), можно определить модули сил и ускорение а .