3. Основной закон динамики вращательного движения

3.1. Краткие теоретические сведения

Основной закон динамики вращательного движения при вращении абсолютно твердого тела относительно неподвижной оси описывается формулой:

(3.1)

где – сумма проекций на ось вращения моментов всех сил, приложенных к твердому телу; – момент инерции тела относительно оси вращения; – проекция углового ускорения на эту ось.

3.2. Примеры решения задач

З а д а ч а 3.1. Шар массой 700 г и радиусом 5 см вращается равноускоренно вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр, делая 120 об/мин. Под действием постоянного вращающего момента частота его

вращения увеличилась до 8 об/с в течение 10 с. Найти: 1) угловое ускорение шара; 2) число оборотов, которое шар сделал за это время; 3) модуль вращающего момента.

Дано:	СИ
no = 120 об/мин	2 об/с
n = 8 об/с
m = 700 г	0,7 кг
t1 =10 c
R = 5 см	0,05 м
, N(t1), М – ?

Решение.

1) Под действием постоянного момента силы шар вращается равноускоренно, поэтому проекция его угловой скорости на ось вращения зависит от времени и рассчитывается по формуле (1.5). Из этой формулы можно определить проекцию углового ускорения:

.

Проверяем размерность полученного выражения:

.

Производим подстановку данных задачи и расчет:

.

2) Число оборотов, сделанное шаром за время , выражаем из формулы (1.9) и подставляем в получившееся уравнение выражение (1.8):

.

Проверяем размерность полученного выражения:

.

.

Производим подстановку данных задачи и расчет:

.

3) Модуль вращающего момент определим в соответствии с основным уравнением динамики вращательного движения твердого тела (3.1), момент инерции шара – в соответствии с данными таблицы. После подстановки выражения для в формулу (3.1) получим:

.

Проверяем размерность полученного выражения:

.

Производим подстановку данных задачи и расчет:

.

З а д а ч а 3.2. Тонкий стержень длиной 20 см и массой 2 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно стержню. Угол поворота стержня с течением времени меняется по закону: , где А = 2 рад; В = 2 рад/с; С = –1 рад/с². Определить модуль тормозящего момента и время равнозамедленного вращения.

Дано:	СИ
А = 2 рад
m = 2 кг
В = 2 рад/с
С = –1 рад/с2
l = 20 см	0,2 м
М, t1 – ?

Решение.

Связь тормозящего момента момента инерции стержня и углового ускорения описывается формулой (3.1). Величину определяем по уравнению (1.3), а момент инерции стержня – в соответствии с данными таблицы. После подстановки уравнения (1.3) в формулу (3.1) получаем:

.

Проверяем размерность полученного выражения:

.

Производим подстановку данных задачи и расчет:

.

Для определения времени равнозамедленного вращения определяем зависимость проекции угловой скорости от времени по соотношению (1.1):

.

В момент остановки стержня , тогда искомое время рассчитываем по формуле:

.

Проверяем размерность полученного выражения:

.

Производим подстановку данных задачи и расчет:

.

З а д а ч а 3.3. С какой силой следует прижимать тормозную колодку к ободу вращающегося с угловой скоростью 34 рад/c колеса в форме сплошного диска массой 8 кг и радиусом 50 см, чтобы колесо остановилось в течение 10 с. Коэффициент трения между колодкой и колесом равен 0,32. Вращение считать равнозамедленным.

Дано:	СИ
R = 50 см	0,5 м
m = 8 кг
t1 = 10 c
F – ?

Решение.

Когда прижимается тормозная колодка к вращающемуся диску с силой появляется касательная сила трения , пропорциональная этой силе давления:

Сила трения создает тормозящий момент:

.

Момент можно определить и по формуле (3.1):

С учетом соотношения (3.1) можно определить модуль силы давления F:

.

Момент инерции определяем по данным таблицы, а угловое ускорение  – из выражения (1.5), полагая в нем

Расчетное выражение для определения модуля силы давления будет иметь вид:

.

Проверяем размерность полученного выражения:

Производим подстановку данных задачи и расчет: