Министерство транспорта Российской Федерации

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

Омский государственный университет путей сообщения

_________________________________

С. А. Гельвер, С. Н. Смердин

кинематика и динамика

вращательного ДвИжЕния абсолюТНо твердого ТЕЛА

(примеры решения задач)

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве методических указаний к решению задач по физике

О мск 2009

УДК 530.1 (075.8)

ББК 22.3

Г32

Кинематика и динамика вращательного движения абсолютно твердого тела (примеры решения задач): Методические указания к решению задач по физике / С. А. Гельвер, С. Н. Смердин; Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2009. 27 с.

Содержатся методические рекомендации по решению типовых задач по кинематике и динамике вращательного движения абсолютно твердого тела, приведены основной закон динамики и краткие теоретические сведения о кинематических и динамических характеристиках вращательного движения.

Предназначены для проведения практических аудиторных занятий и организации самостоятельной работы студентов первого курса очной формы обучения всех факультетов университета.

Библиогр.: 3 назв. Табл. 1. Рис. 5.

Рецензенты: доктор филос. наук, канд. физ.-мат. наук,

профессор А. В. Гидлевский;

доктор техн. наук, профессор В. А. Нехаев.

_________________________

© Омский гос. университет

путей сообщения, 2009

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение 5

1. Кинематические характеристики вращательного движения абсолютно

твердого тела. 6

2. Динамические характеристики вращательного движения абсолютно

твердого тела 12

3. Основной закон динамики вращательного движения. 16

4. Движение связанных тел с учетом вращения блока. 21

Библиографический список 26

ВВЕДЕНИЕ

При изучении курса общей физики необходимо уметь решать задачи, однако даже решение типовых задач нередко вызывает затруднения у студентов. Студенты должны знать и правильно применять законы и формулы курса общей физики, уметь выполнять элементарные математические операции и преобразования.

Настоящие методические указания предназначены для практических занятий и самостоятельной работы студентов при решении задач по теме «Кинематика и динамика вращательного движения твердого тела». При подготовке к практическому занятию, контрольной работе следует внимательно с карандашом в руках проработать теоретический материал по изучаемому вопросу, поэтому каждый раздел данных методических указаний начинается с краткого изложения основных теоретических сведений, а затем приводится подробное решение нескольких типовых задач.

Решать задачи по физике необходимо в следующем порядке: внимательно прочитать условие задачи, кратко записать его и, если необходимо, перевести данные задачи в систему СИ, сделать в тетради рисунок, поясняющий условие задачи. Обычно задача решается в общем виде, т. е. сначала выводится окончательная формула, а затем в нее подставляются числовые данные задачи.

Решение физических задач студентами способствует закреплению теоретических знаний, умений и навыков, необходимых для будущих инженеров железнодорожного транспорта.

1. Кинематические характеристики вращательного движения абсолютно твердого тела

1.1. Основные теоретические сведения

Основными кинематическими характеристиками твердого тела при вращательном движении являются угловое перемещение (угол поворота) , угловая скорость и угловое ускорение

Элементарное угловое перемещение и угловая скорость имеют нап-равление вдоль неподвижной оси вращения, которое определяется правилом правого винта (правилом «буравчика» [1]). Значение углового перемещения , совершаемого телом за некоторое время dt , равно значению малого угла поворота d, на который повернется тело за это время. Связь проекции вектора мгновенной угловой скорости на ось вращения и углового перемещения  описывается соотношениями:

; ( 1.1)

. (1.2)

В случае произвольного вращения абсолютно твердого тела вектор углового перемещения определить невозможно [2].

Мгновенное ускорение характеризует быстроту изменения угловой скорости. Связь проекции вектора углового ускорения на ось вращения с проекцией угловой скорости и углом поворота  описывается уравнениями:

; (1.3)

(1.4)

Направление углового ускорения совпадает с направлением угловой скорости, если вращение ускоренное, и противоположно направлению угловой скорости при замедленном вращении.

В случае равнопеременного вращения ( = const) из уравнений (1.2) и (1.4) можно получить следующие выражения:

; (1.5)

; (1.6)

; (1.7)

. (1.8)

Угол поворота  за время t и число оборотов N, сделанных телом за это же время, связаны соотношением:

(1.9)

Значение угловой скорости может быть найдено через частоту вращения n по формуле:

. (1.10)

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси все его точки движутся по окружностям, центры которых лежат на оси вращения. Скорость, с которой точка движется по окружности, называется линейной. Связь линейной скорости точки, расположенной на расстоянии r от оси вращения, и угловой скорости описывается уравнением:

(1.11)

Быстрота изменения модуля линейной скорости точки характеризуется тангенциальным ускорением , проекцию которого на ось вращения можно определить по соотношению:

(1.12)

Быстрота изменения линейной скорости по направлению характеризуется нормальным ускорением , направленным к центру окружности и равным по модулю:

(1.13)

Полное ускорение точки вращающегося тела определяется как векторная сумма тангенциального и нормального ускорений:

. (1.14)

Модуль полного ускорения определяется по уравнению:

. (1.15)

1.2. Примеры решения задач

З а д а ч а 1.1. Модуль линейной скорости точек, лежащих на ободе колеса, меняется с течением времени по закону: , где А = 2 м/с²; С = 2 м/с³ – константы. Найти: 1) модуль углового ускорения колеса в момент времени t₁ = 2 c; 2) угловую скорость колеса в этот же момент времени; 3) зависимость угла поворота колеса от времени; 4) число оборотов, сделанных колесом за 10 с от начала вращения. Радиус колеса равен 1 м. Угловую скорость и угол поворота в начальный момент времени принять равными нулю.

Дано:

Решение.

1) Тангенциальное ускорение точек, лежащих на ободе колеса, угловое ускорение его вращательного движения и линейная скорость связаны соотношением (1.12):

.

Проверяем размерность полученного выражения:

.

Производим подстановку данных задачи и расчет:

2) Модуль угловой скорости определяем по формуле (1.4):

.

Проверяем размерность полученного выражения:

.

Производим подстановку данных задачи и расчет:

.

3) Находим зависимость угла поворота от времени, воспользовавшись соотношением (1.2):

.

Проверяем размерность полученного выражения:

4) Число оборотов N, сделанных колесом за время t₂, определяем из соотношения (1.9):

.

Производим подстановку данных задачи и расчет:

З а д а ч а 1.2. Барабан стиральной машины, вращаясь равнозамедленно при торможении, за 30 с уменьшил скорость вращения от 1000 об/мин до 600. Найти: 1) модуль углового ускорения барабана; 2) число оборотов, которое барабан сделает до полной остановки.

Дано:	СИ

Решение.

1) Проекцию углового ускорения на ось z определим из формулы (1.5):

.

Проверяем размерность полученного выражения:

Производим подстановку данных задачи и расчет:

.

Отрицательный знак в ответе свидетельствует о том, что вектор углового ускорения направлен против выбранного направления оси вращения z и вектора угловой скорости .

2) Число оборотов, которые барабан сделает до полной остановки, определяем по формулам (1.8) и (1.9). В формуле (1.8) конечное значение проекции угловой скорости полагаем равной нулю, так как барабан останавливается:

.

Проверяем размерность полученного выражения:

.

Производим подстановку данных задачи и расчет:

.

З а д а ч а 1.3. Диск радиусом 50 см вращается вокруг вертикальной оси симметрии так, что зависимость модуля угловой скорости от времени задается выражением: где А = 1 рад/с; В = 2 рад/с²; С = 3 рад/с³. Определить модули нормального, тангенциального и полного ускорений точек диска, максимально удаленных от оси вращения, через 2 с от начала движения.

Дано: R = 0,5 м А = 1 рад/с В = 2 рад/с2 С = 3 рад/с3 t1 = 2 c

Решение.

Модуль нормального ускорения в момент времени t₁ определяем по формуле (1.13):

Проверяем размерность полученного выражения:

.

Производим подстановку данных задачи и расчет:

.

Модуль тангенциального ускорения в момент времени t₁ определяем по формуле (1.12):

.

Проверяем размерность полученного выражения:

.

Производим подстановку данных задачи и расчет:

Модуль полного ускорения в момент времени t₁ определяем по формуле (1.15):

;