МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ВОРОНЕЖСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ
КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
И ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ 0
матвеев м.г., Семенов М.Е., Шуршикова Г.В.
Теория процентных ставок
Методические указания к практическим занятиям и выполнению контрольной работы по финансовой математике
1. Наращение и дисконтирование по простой процентной ставке
1.1. Краткие сведения, необходимые для выполнения задания № 1
Наращение по простым процентам означает, что проценты начисляются на первоначальную сумму долга. Обычно используются при выдаче краткосрочных ссуд или когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются кредитору.
Формула наращенной суммы:
, (1.1)
где I – проценты за весь срок ссуды, P – первоначальная сумма долга, S – наращенная сумма, или сумма в конце срока, i – ставка наращения, n – срок ссуды.
Причем, если срок
выражен в годах, то n=n,
если срок выражен в месяцах (например
t
месяцев), то
,
если же срок выражен в днях, то
,
где t
– количество
дней, а К
– временная база (число дней в году). K
может быть равным 360 дням (тогда получают
обыкновенные или коммерческие проценты),
365 дням, 366 дням (точные проценты).
Дисконтирование по простой процентной ставке – процесс, обратный наращению по простым процентам. Задача в этом случае формулируется так: какую первоначальную сумму ссуды надо выдать в долг, чтобы получить в конце срока сумму S при условии, что на долг начисляются проценты по ставке i:
. (1.2)
Установленная таким путем величина P называется современной величиной суммы S, которая будет выплачена спустя n лет.
Величина
(1.3)
(удержанные проценты) называется дисконтом.
Часто требуется рассчитать срок ссуды. В этом случае задача может формулироваться следующим образом: на какой промежуток времени следует положить сумму P под простые проценты i, чтобы получить в конечном итоге сумму S. Или же необходимо найти проценты, под которые необходимо положить P, чтобы через срок, равный n получить S.
Рассмотрим наиболее распространенные задачи наращения и дисконтирования по простым процентам.
1.2. Решение типовых примеров
Пример 1: заемщик получил кредит на 6 месяцев под 80 % годовых (процентная ставка простая) с условием вернуть 2 тыс.р. Какую сумму получил заемщик в момент заключения договора и чему равен дисконт?
Решение: очевидно требуется определить, сколько стоят 2 тыс.р., полученные через 6 месяцев сегодня, то есть найти современную стоимость кредита. Применив операцию дисконтирования, получим
1428,57.
Дисконт по формуле (1.3) равен
.
Пример 2: на какой срок необходимо вложить 1 тыс.р. в банк, чтобы получить 1,4 тыс.р. Годовая простая процентная ставка равна 15 %.
Решение: из формулы (1.1) выразим n. Получим
Пример 3: в контракте предусматривается погашение обязательства в сумме 10 тыс.р. через 46 дней. Первоначальная сумма долга – 9 тыс.р. Необходимо определить доходность ссудной операции для кредитора в виде годовой простой процентной ставки. Определить доходности, если срок погашения через 20 дней.
Решение:
из формулы (1.1)
.
Пример 4: какую сумму должен внести инвестор сегодня под простые проценты, чтобы накопить 20 тыс.р.: а) за 6 месяцев; б) за 2 года; в) за 1000 дней?
Решение: а) учитывая, что срок выражен в месяцах, воспользовавшись формулой (1.2), получим
;
б)
;
в)
.