Лекция 5. Методы решения нелинейных уравнений

При решении практических задач, часто приходится сталкиваться с решением уравнений. Всякое уравнение с одним неизвестным можно представить в виде , где и – заданные функции, определенные на некотором числовом множестве Х, называемом областью допустимых значений уравнения или

если обозначить левую часть за , то получим уравнение .

Совокупность нескольких уравнений с несколькими неизвестными называют системой уравнений.

5.1. Итерационные методы решения нелинейных уравнений а). Метод простой итерации.

Представим уравнение через и многократным применением формулы до тех пор, пока не даст , где – заданная погрешность вычисления.

б). Метод деления отрезка пополам (Дихотомии).

Для :

1. находим ;

2. вычисляем ;

3. если , задаем , иначе .

4. Проверяем условие : если оно выполняется, идем к п.1., если не выполняется, заканчиваем вычисление и считаем, что приблизительно равен искомому решению исходного уравнения с заданной точностью .

Число итераций при использовании этого метода

.

в). Метод Хорд.

Пусть имеем уравнение , где - непрерывная функция на , имеющая непрерывные и .

Корень считается отделенным и находится на отрезке , т.е.

Уравнение хорды проходящей через точку А₀ и В (см. рис.5.1, рис.5.2)

A

Рис. 5.1

Рис. 5.2

имеет вид

.

Найдем х = х_1, для которого y = 0

.

Если корень нас не устраивает, то мы находим

;

;

. . .

.

Рассмотрим случай, когда первая и вторая производные имеют разные знаки. (рис.5.3):

, .

Рис. 5.3

,

,

. . .

.

Неподвижными концами отрезка является тот, для которого знак функции совпадает со знаком второй производной .

Г). Метод Ньютона.

Пусть корень уравнения f(x) = 0 отделен на отрезке [a, b], причем и непрерывны и сохраняют постоянные значения на всем отрезке [a, b].

Геометрический смысл метода Ньютона в том, что дуга кривой y = f(x) заменяется касательной к этой кривой.

Первый случай (рис.5.4):

f(a)  0 , f(b)  0 ,  0 ,  0 (основная линия)

или

f(a) > 0 , f(b) < 0 , < 0 , < 0 (пунктирная линия) .

Рис. 5.4

Проведем касательную к кривой y = f(x) в точке B₀

.

Полагая y = 0 , x = x_{1 ,} получим

_,

,

. . .

^.

Второй случай (рис. 5.5):

f(a)  0 , f(b)  0 ,  0 , < 0 (основная линия)

или

f(a) > 0 , f(b) < 0 , < 0 , > 0 (пунктирная линия),

.

Рис. 5.5

Полагая y = 0 , х = х₁ , получим

_, , . . . , ^.

При выборе начального приближения корня необходимо руководствоваться правилом: за исходную точку следует выбирать тот конец [a, b], в котором знак функции совпадает со знаком , т.е.

, a = x_{0 .}

д). Модифицированный метод Ньютона.

Заключается в том, что вместо вычисления производной на каждом шаге итераций находится ее приближенное значение

, .

Следовательно, итерационная формула имеет вид

.

Значение не обязательно должно быть постоянно. Равенство позволяет уменьшить число исходных данных при вводе.