1.4. Матричные уравнения

Рассмотрим три вида матричных уравнений.

1. Уравнение вида . Умножим обе части уравнения на слева:

, где . (1.7)

Пример: или .

Находим обратную матрицу . - детерминант матрицы A.

- алгебраическое дополнение к матрице A.

; .

2. Матричное уравнение вида:

(1.8)

Умножим обе части уравнения на справа.

Пример: Решить матричное уравнение

.

Решение:

~ ; ;

; ; ;

; ; ;

; ; ;

; ;

Матричное уравнение третьего вида:

. (1.9)

Для его решения умножим обе части уравнения слева на , а справа на , тогда получим

;

.

Пример: Решить матричное уравнение

.

Решение:

; ; ;

; ; ;

.

Находим сначала , а затем и искомое решение матричного уравнения

; ; ;

.

Лекция 2. Точные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (слау)

СЛАУ допускают как точные, так и приближенные методы решения.

К точным относятся метод Крамера, метод Гаусса и метод обратной матрицы.

К приближенным методам относятся: метод простой итерации, метод последовательных приближений и метод Зейделя.

2.1. Формулы Крамера для решения системы линейных уравнений

Пусть дана система линейных уравнений (для простоты возьмем систему 4-го порядка)

(2.1)

Введем специальные обозначения, где D – определитель системы

; ; ; ; (2.2)

.

Если D  0, то система является определенной, т.е. имеет единственное решение в виде соотношений, которые и называются формулами Крамера

; ; ; , (2.3)

2.2. Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса)

Элементарными преобразованиями называются следующие 3 типа преобразований:

1. Перестановка двух уравнений системы.

2. Умножение обеих частей уравнений системы на любое число неравное нулю.

3. Прибавление (вычитание) к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число, отличное от нуля.

Пусть дана система

(2.4)

Будем исключать неизвестное x₁ из всех уравнений системы (2.4), кроме первого. Назовем x₁ – ведущим неизвестным, а коэффициент a₁₁ – ведущим коэффициентом. Разделив первое уравнение на a₁₁ (это возможно если a₁₁  0), получим:

.

Обозначим

; ; ; ;

и вообще

, (j > 0) ,

тогда

или

. (2.5)

Дальнейшее решение системы уравнений (2.4) методом Гаусса представляет собой ряд последовательных шагов:

1. Для исключения неизвестного вычтем из второго уравнения системы (2.4) уравнение (2.5), умноженное на a₂₁ :

−

___________________________________________________________