Решение уравнения методом Рунге-Кутта

Приведем сначала удобную схему вычислений по методу Рунге-Кутта, сведя ее в табл.4, и опишем порядок заполнения этой таблицы.

Схема метода Рунге-Кутта:

Таблица 4

i	x	у	K=hf(x,y)	Δу
0	х0	у0	K1(0)	K1(0)
			K2 (0)	2K2 (0)
			K3(0)	2K3(0)
	х0+ h	у0+ K3(0)	K4(0)	K4(0)
				Δу0
1	х1	у1

Порядок заполнения таблицы

1. Записываем в первой строке таблицы данные значения х₀,у₀.

2. Вычисляем f (х₀,у₀), умножаем на h и заносим в таблицу в качестве K₁⁽⁰⁾.

3. Записываем во второй строке таблицы , .

4. Вычисляем , умножаем на h и заносим в таблицу в качестве K₂ ⁽⁰⁾.

5. Записываем в третьей строке таблицы , .

6. Вычисляем , умножаем на h и заносим в таблицу в качестве K₃⁽⁰⁾.

7. Записываем в четвертой строке таблицы х₀ + h, у₀ + K₃⁽⁰⁾.

8. Вычисляем , умножаем на h и заносим в таблицу в качестве K₄⁽⁰⁾.

9. В столбец Δу записываем числа K₁⁽⁰⁾, 2K₂ ⁽⁰⁾, 2K₃⁽⁰⁾, K₄⁽⁰⁾.

10. Суммируем числа, стоящие в столбце Δу, делим на 6 и заносим в таблицу в качестве Δу₀.

11. Вычисляем у₁ = у₀ + Δу₀.

Затем все вычисления повторяются в том же порядке, принимая за начальную точку (х₁, у₁). Заметим, что если f(x,y) являются достаточно сложной функцией, то рекомендуется вычисление правой части дифференциального уравнения включать в табл.4 или, если эти вычисления громоздки, записывать их в отдельную таблицу.

Итак, решим исходное уравнение методом Рунге-Кутта. Приближенные значения у₁, у₂,..,у₅ решения этого уравнения будем вычислять по формулам (10.14)–( 10.16), где , в порядке, указанном в приведенной выше схеме. Результаты вычислений помещаем в табл.5, заполняя ее в указанном выше порядке.

При i = 0.

1. Записываем в первой строке х₀ = 0,0, у₀ = 1,0000.

2. Вычисляем f (х₀,у₀) = 1,0000; тогда K₁⁽⁰⁾ = 0,2 ∙1,0000 = 0,2000.

3. Записываем во второй строке ,

4. Вычисляем = 0,9182; тогда K₂ ⁽⁰⁾ = 0,1836.

5. Записываем в третьей строке , .

6. Вычисляем = 0,9086; тогда K₃⁽⁰⁾ = 0,1817.

7. Записываем в четвертой строке х₀ + h = 0,2; у₀ + K₃⁽⁰⁾ = 1,1817.

8. Вычисляем f(х₀+ h, у₀+ K₃⁽⁰⁾) = 0,8432; тогда K₄⁽⁰⁾ = 0,1686.

9. В столбец Δу записываем числа K₁⁽⁰⁾, 2K₂ ⁽⁰⁾, 2K₃⁽⁰⁾, K₄⁽⁰⁾.

10. Вычисляем = 0,1832.

11. Получаем у₁ = у₀ + Δу₀ = 1,1832.

Таблица 5

i	x	у	K=hf(x,y)	Δу
0	0,0	1,0000	0,2000	0,2000
	0,1	1,1000	0,1836	0,3672
	0,1	1,0918	0,1817	0,3624
	0,2	1,1817	0,1686	0,1686
				0,1832
1	0,2	1,1832	0,1690	0,1690
	0,3	1,2677	0,1588	0,3178
	0,3	1,2627	0,1575	0,3150
	0,4	1,3407	0,1488	0,1488
				0,1584
2	0,4	1,3417	0,1490	0,1490
	0,5	1,4162	0,1420	0,2840
	0,5	1,4127	0,1409	0,2819
	0,6	1,4826	0,1346	0,1346
				0,1416
3	0,6	1,4833	0,1348	0,1348
	0,7	1,5507	0,1296	0,2592
	0,7	1,5481	0,1287	0,2575
	0,8	1,6120	0,1239	0,1239
				0,1292
4	0,8	1,6125	0,1241	0,1241
	0,9	1,6745	0,1199	0,2398
	0,9	1,6725	0,1192	0,2385
	1,0	1,7317	0,1154	0,1154
				0,1196
5	1,0	1,7321

Значения х₁ = 0,1, у₁ = 1,1832 заносим в строку, помеченную индексом i = 1, и снова проводим вычисления по формулам (10.14)–( 10.16).