- •Оглавление
- •Предисловие
- •Лекция 1. Понятие погрешности решения систем алгебраических уравнений
- •1.1. Точные и приближенные числа, источники погрешностей, классификация погрешностей
- •Источники погрешностей
- •1.2. Абсолютные и относительные погрешности
- •1.3. Понятие о системе линейных уравнений
- •1.4. Матричные уравнения
- •Лекция 2. Точные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (слау)
- •2.1. Формулы Крамера для решения системы линейных уравнений
- •2.2. Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса)
- •Пусть дана система
- •Обозначим
- •Лекция 3. Приближенные методы решения слау
- •3.1. Понятие предела для векторов и матриц Пусть дана последовательность векторов
- •Аналогично, если имеется последовательность квадратных матриц
- •3.2. Метод простой итерации Пусть дана система линейных уравнений:
- •В матричном виде:
- •Условия сходимости итерационного процесса
- •3.4. Оценка погрешности приближенного процесса методом итерации
- •Лекция 4. Метод зейделя
- •4.1. Условия сходимости процесса Зейделя
- •Пусть дана линейная система
- •4.2. Оценка погрешности процесса Зейделя
- •4.3. Приведение системы линейных уравнений к виду, удобному для итераций
- •Лекция 5. Методы решения нелинейных уравнений
- •5.1. Итерационные методы решения нелинейных уравнений а). Метод простой итерации.
- •Число итераций при использовании этого метода
- •Если корень нас не устраивает, то мы находим
- •Г). Метод Ньютона.
- •5.2. Метод Рыбакова
- •5.3. Метод наискорейшего спуска
- •Лекция 6. Интерполирование и экстраполирование
- •6.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •Перепишем этот многочлен в другой форме
- •Окончательно получаем
- •Лекция 7. Конечные разности
- •Рассмотрим некоторые свойства конечных разностей
- •7.1. Первая интерполяционная формула Ньютона для равноотстоящих узлов интерполяции
- •7.2. Вторая интерполяционная формула Ньютона
- •7.3. Оценка погрешностей интерполяционных формул Ньютона
- •Лекция 8. Линейное интерполирование
- •8.1. Интерполирование по Эйткину
- •8.2. Интерполяция и приближение сплайном
- •Приближение линейными сплайнами
- •Лекция 9. Численное интегрирование функций
- •9.1. Постановка задачи
- •9.2. Формула прямоугольников
- •Лекция 10. Численные методы решения задачи коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
- •10.1. Задача Коши. Общие замечания. Постановка задачи
- •10.2. Метод Эйлера
- •10.4. Метод Рунге-Кутта
- •Лекция 11. Разностный метод решения уравнений математической физики (метод сеток)
- •11.1. Метод сеток для уравнения параболического типа
- •Лекция 12. Метод сеток для уравнения гиперболического типа
- •12.2. Метод сеток для уравнений Пуассона и Лапласа
- •Образцы выполнения контрольных работ Контрольная работа № 5
- •Контрольная работа № 6
- •Решение уравнения методом Эйлера
- •Решение уравнения модифицированным методом Эйлера
- •Решение уравнения методом Рунге-Кутта
- •Аналитическое решение заданного уравнения
- •Сравнение точного решения и приближенных решений исходного дифференциального уравнения
- •Контрольная работа №7
- •Контрольная работа №8
- •Решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта
- •Аналитические решения заданного уравнения
- •Примеры заданий для самостоятельной работы Задание 1
- •Задание 2
- •Задание 3
- •Задание 4
- •Задание 5
- •Варианты задания
- •Задание 6
- •Варианты задания
- •Задание 7
- •Варианты задания
- •Задание 8
- •Варианты задания
- •Задача для самостоятельного решения
- •Вопросы для самостоятельной подготовки
- •Библиографический список
УДК 519.6 (075.8)
ББК 22.193я73
Б 91
Рекомендован к изданию ученым советом ИрГТУ
Рецензенты:
канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник Института динамики систем и теории управления Сибирского отделения РАН А. Е. Раджабов;
канд. техн. наук, доцент кафедры математики Иркутского государствен-ного технического университета И. А. Огнев.;
Буренков С. И., Сидоров И. М.
Б 91 Численные методы анализа: курс лекций / С. И. Буренков, И. М. Сидоров. – Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2008. – 87 с.
В работе излагаются теоретические аспекты численных методов решений систем линейных алгебраических и нелинейных уравнений. Описаны методы экстраполяции и интерполяции функций. Приведены методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Все описанные методы сопровождаются большим количеством примеров и контрольных заданий по каждой теме. Для самостоятельного контроля знаний студентов представлены вопросы для самопроверки и тесты.
Конспект лекций предназначен для студентов и преподавателей технических университетов.
Библиогр. 18 назв. Ил. 4.
УДК 519.6 (075.8)
ББК 22.193я73
© Буренков С.И. , Сидоров И.М., 2008
© Иркутский государственный технический университет, 2008
Оглавление
ПРЕДИСЛОВИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
4 |
ЛЕКЦИЯ 1. Понятие погрешности решения систем алгебраических уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
1.1. Точные и приближенные числа, источники погрешностей, классификация погрешностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
1.2. Абсолютные и относительные погрешности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
1.3. Понятие о системе линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
1.4. Матричные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
Лекция 2. Точные и приближенные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (слау) |
|
2.1. Формулы Крамера для решения системы линейных уравнений |
|
2.2. Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса) |
|
Лекция 3. Приближенные методы решения слау |
|
3.1. Понятие предела для векторов и матриц |
|
3.2. Метод простой итерации |
|
Условия сходимости итерационного процесса |
|
3.4. Оценка погрешности приближенного процесса методом итерации |
|
Лекция 4. Метод Зейделя |
|
|
|
4.1. Условия сходимости процесса Зейделя |
|
4.2. Оценка погрешности процесса Зейделя |
|
4.3. Приведение системы линейных уравнений к виду, удобному для итераций |
|
Лекция 5. Методы решения нелинейных уравнений |
|
5.1. Итерационные методы решения нелинейных уравнений |
|
5.2. Метод Рыбакова |
|
5.3. Метод наискорейшего спуска |
|
Лекция 6. Интерполирование и экстраполирование |
|
6.1. Интерполяционный многочлен лагранжа |
|
6.2. Оценка погрешности интерполяционного многочлена лагранжа |
|
Лекция 7. Конечные разности |
|
7.1. Первая интерполяционная формула ньютона для равноотстоящих узлов интерполяции |
|
7.2. Вторая интерполяционная формула ньютона |
|
7.3. Оценка погрешностей интерполяционных формул ньютона |
|
Лекция 8. Линейное интерполирование |
|
8.1. Интерполирование по Эйткину |
|
8.2. Интерполяция и приближение сплайном |
|
Лекция 9. Численное интегрирование функций |
|
9.1. Постановка задачи |
|
9.2. Формула прямоугольников |
|
9.3. Формула трапеций. |
|
9.4. Формула парабол (формула симпсона). |
|
Лекция 10. Численные методы решения задачи коши для обыкновенных дифференциальных уравнений |
|
10.1. Задача коши. Общие замечания. Постановка задачи |
|
10.2. Метод Эйлера |
|
10.3. Модифицированный метод Эйлера |
|
10.4. Метод Рунге-Кутта |
|
Лекция 11. Разностный метод решения уравнений математической физики (метод сеток) |
|
11.1. Метод сеток для уравнения параболического типа |
|
Лекция 12. Метод сеток для уравнения гиперболического типа |
|
12.2. Метод сеток для уравнений пуассона и лапласа |
|
Образцы выполнения контрольных работ |
|
|
|
Контрольная работа № 5 |
|
Контрольная работа № 6 |
|
Контрольная работа №7 |
|
Контрольная работа №8 |
|
Примеры заданий для самостоятельной работы |
|
Задание 1 |
|
Задание 2 |
|
Задание 3 |
|
Задание 4 |
|
Задание 5 |
|
Задание 6 |
|
Задание 7 |
|
Задание 8 |
|
Вопросы для самостоятельной подготовки |
|
Библиографический список |
|