Часть 2. Введение в теорию спектрального анализа

Изучаются свойства дискретного преобразования Фурье, влияние весового окна на результаты измерений спектра и параметры весовых окон.

2.1. Дискретное преобразование Фурье, взвешивание сигнала, весовые окна

Рассмотрим периодическую последовательность x_p(n) с периодом в N отсчетов. Если известны отсчеты спектра X_p(k) этой функции, то ее можно представить как:

. (5)

Соотношение (5) носит название обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ). Выражение для прямого дискретного преобразования Фурье (ДПФ) имеет вид:

. (6)

Из определений (5) и (6) следует:

1) обе последовательности x_p(n) и X_p(k) периодичны с периодом в N отсчетов.

2) X_p(k) полностью определяется значениями одного периода функции x_p(n) длиной в N отсчетов с помощью ОДПФ и, наоборот, значения одного периода отсчетов x_p(n) полностью определяются с помощью ДПФ значениями одного периода спектра длиной также в N отсчетов.

Периодичность спектра по частоте равна частоте опроса (частоте дискретизации). С другой стороны, каждый период спектра состоит из N отсчетов. Следовательно, расстояние между соседними отсчетами ДПФ (разрешающая способность по частоте) равно:

(7)

Рис. 1. Процесс взвешивания: а) исходный сигнал; б) функция прямоугольного окна; в) взвешенный сигнал

где f_s. – частота опроса исходного сигнала, N – размер ДПФ. Чем ∆F меньше, тем разрешающая способность по частоте выше.

Из выражения (7) следует, что для увеличения разрешающей способности необходимо либо уменьшить частоту опроса сигнала, либо увеличить размерность ДПФ. Первое приведет к снижению разрешающей способности по времени, так как возрастет длительность периода следования T = 1 / f_s, второе – к увеличению длительности анализируемого сигнала, равную N / f_s .

Рис. 2. Спектр прямоугольного

окна (-ширина окна)

Для ограничения сигнала по длительности используют умножение исследуемого сигнала на временное окно конечной длительности (рис. 1). Подобный процесс принято называть взвешиванием, а функцию, на которую сигнал умножают, – взвешивающей функцией или окном.

Применение окна анализа во временной области в спектральной области соответствует свертке спектра сигнала со спектром взвешивающего окна. В спектре каждой оконной функции принято различать главный спектральный лепесток, имеющий максимальную амплитуду, и боковые лепестки.

Рис.3. Спектр синусоидального

сигнала, взвешенного прямоугольным

окном

В качестве примера на рис. 2 показан спектр прямоугольного окна. В результате свертки боковые лепестки спектра окна вносят свой вклад в значение каждого отсчета результирующего спектра, искажая истинный спектр. Данное явление получило название «просачивания».

На рис. 3 показан спектр синусоидального сигнала взвешенного прямоугольным окном (частота синусоиды 100 Гц). Вместо дискретного значения частоты наблюдается существенное расширение спектрального лепестка в области основания. Просачивание может маскировать присутствие слабых сигналов на фоне сильных и, следовательно, препятствовать их обнаружению.

Рис. 4. Спектр синусоидального сигнала, взвешенного окном Натолла

Минимизировать эффект просачивания можно выбрав окно с меньшей амплитудой боковых лепестков. Предложен [1] ряд функций окна, применение которых позволяет снизить уровень боковых лепестков по сравнению с тем их уровнем, который они имеют в случае прямоугольного окна. Однако минимизация просачивания дается ценой расширения главного лепестка спектра окна, что приводит к ухудшению разрешения между сильными составляющими спектра сигнала.

На рис. 4 приведен спектр синусоидального сигнала с частотой 100 Гц, взвешенного окном Натолла. Как и ожидалось, спектр состоит из единственной компоненты. Эффект просачивания заметен значительно слабее. Однако сам лепесток шире, вершина лепестка имеет более гладкий характер и максимум этого лепестка выражен менее определенно. Таким образом, при выборе типа окна должен быть достигнут компромисс между шириной главного лепестка и уровнем боковых лепестков, определяемых спектром взвешивающего окна.

Для классификации функций окна используется следующие показатели:

1. Ширина главного лепестка. В качестве эталонного окна, со спектром которого производят сравнение, часто берут прямоугольное окно.

2. Пиковый (или максимальный) уровень боковых лепестков в дБ, а также скорость спада уровня боковых лепестков, ближайших к главному. Скорость спада боковых лепестков принято выражать в децибелах на октаву.

Ниже даны определения некоторых дискретных временных функций окна:

1) Окно Ханна:

. (8)

2) Окно Хэмминга:

. (9)

3) Окно Натолла:

(10)

Параметры окон представлены в табл. 2. Из всех приведенных в таблице окон самый узкий главный лепесток имеет частотная характеристика прямоугольного окна, но у него и самый высокий уровень боковых лепестков.

Таблица 2. Сравнительные характеристики временных окон

	Прямоугольное	Хэмминга	Ханна	Натолла
Максимальный уровень боковых лепестков, дБ	-13,3	-43	-31,5	-98
Асимптотическая скорость спада боковых лепестков, дБ/окт	-6	-6	-6	-18
Эквивалентная ширина полосы	1,0	2,0	2,0	4,8