2. Задания контрольной работы

Тема 1. Простые проценты

Методические указания.

Обозначения: S – наращенная (будущая ) сумма; P – первоначальная сумма; i – ставка простых процентов за период ( в долях ); n – число периодов начисления по ставке i за период.

Если n исчисляется в годах, то i – ставка простых процентов годовых ( в долях ). Если срок начисления t не кратен шагу, то n = t/K , где К – длина шага в днях.

Наращенная (будущая ) сумма платежа Р вычисляется по формуле:

где I = Pni – сумма процентных денег.

Приведение будущей суммы к более раннему моменту времени называется дисконтированием. Формула математического дисконтирования имеет вид:

Второй сомножитель в правой части называется дисконтным множителем (коэффициентом дисконтирования).

Величина D = S – P называется дисконтом.

При банковском расчете процентов применяется учетная ставка:

Размер дисконта или учета, удерживаемого банком, равен D = S∙n∙d , откуда

Примеры решения задач по теме 1.

Пример 1.1. Кредит в объеме 90 тыс. руб. выдан на срок 2,5 года при ставке простых процентов, равной 12% годовых. Определить единовременную сумму погашения кредита и величину накопленных процентов.

Решение:

Накопленная сумма процентов:

I = P∙n∙i = 90∙2,5∙0,12 = 27 тыс. руб.

Наращенная сумма кредита:

S = P + I = 90 + 27 = 117 тыс. руб.

Пример 1.2. Кредит в объеме 90 тыс. руб. выдан на срок с 25 февраля 2013 до 9 апреля 2013 года при ставке простых процентов, равной 12% годовых.

1. Рассчитать точные проценты с точным числом дней займа;

2. Рассчитать обыкновенные проценты с точным числом дней займа;

3. Рассчитать обыкновенные проценты с приближенным числом дней займа.

Решение:

Для расчетов используют формулу

I = P•(t/K)• i ,

1. I = P∙n∙i = 90∙(44/365)∙0,12 = 1301,92 руб.

2. I = P∙n∙i = 90∙(44/360)∙0,12 = 1320,00 руб.

3. I = P∙n∙i = 90∙(43/360)∙0,12 = 1290,00 руб. ( продолжительность марта – 30 дней).

Вычисление отношения t/K можно автоматизировать с помощью функции Excel ДОЛЯГОДА(нач_дата;кон_дата;базис), находящейся в категории функций «Дата и время». Значения параметра «базис» приведены в таблице 1.

Таблица1. Значение базиса для функции ДОЛЯГОДА

Базис	Способ вычислении доли
0 или опущен	американский (NASD) 30/360
1	фактический / фактический
2	фактический / 360
3	фактический / 365
4	европейский 30/360

Пример 1.3. Известно, что через 150 дней должник по договору уплатит 200 000 руб. Кредит выдан под 15% годовых (проценты обыкновенные). Рассчитать первоначальную сумму кредита и дисконт.

Решение:

P = S/ (1+ni) = 200000/ (1+ 150/360•0.15) = 188  235 руб. ,

D = S – P = 200000 – 188235.3 = 11765 руб.

Пример 1.4. Известно, что через 150 дней предприятие должно получить по векселю 200 000 руб. Банк приобрел вексель с дисконтом и учел его по учетной ставке 15% годовых (год равен 360 дням). Рассчитать полученную предприятием сумму P и дисконт D.

Решение:

D = S∙n∙d = 200000∙(150/360)∙ 0,15 = 12500 руб.

P = S – D = 200000 – 12500 = 187500 руб.

Пример 1.5. По договору предприятие должно уплатить через 15 0 дней 4 млн. руб. с процентами, начисляемыми по ставке простых процентов i=15 % годовых. Погашение задолженности было учтено банком за 60 дней до срока погашения по учетной ставке d =11%. Требуется найти сумму, полученную при учете. (В этом примере одновременно используется наращение по ставке i и дисконтирование по учетной ставке d)

Решение:

P = S(1+n₁∙i)∙ (1- n₂∙d) = 4∙( 1 + 150/365∙0,15)∙( 1 – 60/ 360∙ 0,11= 4,168721 млн. руб.

Пример 1.6. Три платежа S₁ = 2 млн. руб., S₂ = 3 млн. руб., S₃ = 4 млн руб. со сроками уплаты соответственно через 80 , 100 и 150 дней заменяются одним со сроком уплаты через 120 дней при простой ставке 15%. Найти сумму консолидированного платежа (год принять равным 360 дней).

Правила консолидации платежей:

1. если все сроки выплат меньше срока консолидации, то суммы выплат наращиваются к сроку консолидации;

2. если все сроки выплат больше срока консолидации, то суммы выплат дисконтируются к сроку консолидации;

3. если часть платежей должна осуществляется ранее срока консолидации, а часть – позднее, то платежи со сроком выплат расположенные левее срока консолидации – наращиваются к сроку консолидации, а лежащие правее - дисконтируются.

Обобщенная формула имеет вид:

где n0 – дата консолидации; n_j – сроки более ранних выплат (n_j < n₀); n_к – сроки более поздних выплат (n_к > n₀).

Решение:

За базовую дату примем день выплаты консолидированного платежа S₀ = 120 дней . Т.к. срок объединяемых платежей S₁ и S₂ меньше срока приведения, то их приведение к моменту выплаты консолидированного платежа будет выполняться с помощью операции наращения, а платеж S₃ со сроком большим срока консолидации, будет дисконтироваться:

Задача 1.7.

Фирма, в погашение задолженности банку за предоставленный кредит под 30% годовых, должна произвести 2 платежа в сроки 13.06.2013 (164-й день), 1.10.2013 (274-й день) суммами S₁ = 1,5 млн. руб. и S₂ = 4,5 млн. руб. Фирма договорилась объединить оба платежа в один суммой S₀ = 7 млн. руб. с продлением срока выплаты.

Найти срок выплаты консолидированного платежа. (В скобках указан порядковый номер даты платежа).

Решение:

Задача решается в два шага.

Сначала определяется современная стоимость консолидируемых платежей:

Затем рассчитывается срок выплаты консолидированного платежа по формуле:

Задача 1.8. Начальный капитал 10 млн. руб. Найти наращенную сумму через 8 месяцев по:

1. ежегодной ставке 15 %;

2. ежемесячной ставке 2 %;

3. квартальной ставке 6 %.

Решение:

В любом варианте время начисления согласуется с шагом начисления процентов:

1. S = 10∙( 1 + 8/12∙0,15 ) = 11 млн. руб.;

2. S = 10∙( 1 + 8∙0,02 ) = 11,6 млн. руб.;

3. S = 10∙( 1 + 8/3∙0,06 ) = 11,6 млн. руб.

Задача 1.9. Векселедержатель предъявил для учета вексель на 8 млн.руб. со сроком погашения 30.09.13. Вексель предъявлен 10.09.13. Какую сумму получит векселедержатель, если:

1) вексель погашается по учетной ставке d = 0,4;

2) вексель погашается по процентной ставке i = 0,4.

Решение:

1) P = S( 1 – n∙d) = 8(1 – 20/360∙0,4 ) = 7,822 млн. руб.;

2) P = S / ( 1 + n∙i) = 8 / (1 + 20/360∙0,4 ) = 7,826 млн. руб.;

Вексель выгоднее учитывать по процентной ставке, в этом случае векселедержатель получает большую сумму.

Задача 1.10. Предприятие получило кредит на 1 год в размере 50 млн. с условием возврата 70 млн.

Найти доходность операции для кредитора в виде процентной и дисконтной (учетной) ставок. P = 50 млн., S = 70 млн.

В формулах наращения по процентной и учетной ставке со сроком n, то получим, формулы доходности или эффективности по простой ставке процентов и учетной ставке соответственно:

Решение:

Дисконтная (учетная) ставка всегда дает меньшую доходность , чем процентная, ибо она учитывает изменение стоимости денег во времени.

Задача 1.11. Кредитор и заемщик договорились, что из суммы кредита, выданного на 250 дней, сразу удерживается дисконт в размере 20% указанной суммы. Требуется определить цену кредита в виде простой годовой учетной ставки d и годовой простой ставки i. Год полагать равным 365 дней.

В данном контракте дисконт фиксируется от конечной суммы независимо от срока займа. Таким образом, уровень процентной ставки задается в неявном виде.

Пусть S- размер погасительного платежа (сумма ссуды к концу срока), d_n – доля этого платежа, определяющая величину дисконта за весь срок ссуды.

Р = S(1 – d_n) – реально выдаваемая ссуда в момент заключения договора.

Решение:

Задачи по вариантам

Задача 1. Банк дает кредиты под ставку 10% годовых. Рассчитать месячную ставку простых процентов.

Задача 2. Ссуда размером 250 тысяч руб. выдана на 5 лет по 12% простых процентов годовых. Определить наращенную сумму.

Задача 3. Ссуда размером 250 тысяч руб. выдана на 5 лет по 12% простых процентов годовых. Определить , во сколько раз изменится наращенная сумма, если ставку уменьшить на 1,5%.

Задача 4. По какой ставке простых процентов годовых необходимо отдать в рост капитал, чтоб первоначальный капитал в размере 180 тыс. руб. за 182 дня увеличился в 1,1 раза.

Задача 5. Цена актива равняется 1000 рублям. Его годовая доходность составила 15%. Определить, по какой цене был куплен актив.

Задача 6. Через 60 дней после подписания договора должник уплатит 2 000 000 руб. Кредит выдан на условиях 12% годовых (проценты простые).

Какова первоначальная сумма займа. Рассчитать дисконт.

Задача 7. Через 60 дней предприятие должно получить по векселю 2 000 000 руб. Банк приобрел вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 12% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

Задача 8. Три платежа S₁ =5 млн. руб., S₂ =1 млн. руб., S₃ =4 млн. руб. со сроками уплаты соответственно через 80, 140 и 120 дней заменяются одним платежом со сроком уплаты через 180 дней по простой ставке 20%. Найти сумму консолидированного платежа (год принять равным 360 дней).

Задача 9. Фирма, в погашение задолженности банку за предоставленный кредит под 30% годовых, должна произвести 2 платежа в сроки 2.05 (122-й день),20.08 (232-й день) суммами S₁ = 3 млн. руб. и S₂ = 2 млн. руб. Фирма договорилась объединить оба платежа в один суммой S₀= 5 млн. руб. с продлением срока выплаты. Найти срок выплаты консолидированного платежа.

Задача 10. Две суммы10 и 12 млн. руб. должны быть выплачены 29.08.13 (241) и 1.01.14 (1). Стороны договорились пересмотреть условия контракта: должник 1.12.13 (335) выплачивает 10 млн. руб., остаток долга гасится 1.04.14 (91). Найти эту сумму при условии, что пересчет осуществляется по ставке простых процентов, равной 12% (год равен 365 дней).

Задача 11. Покупатель приобрел телевизор по цене 20 000 руб., в кредит, уплатив сразу 5 000 руб. и обязавшись уплатить остальное в течение 12 месяцев, делая ежемесячные равные платежи. Какую сумму он должен выплачивать, если продавец требует за кредит 4% простых в год?

Задача 12. Финансовая компания дает ссуду 500 000 руб. на 3 года под простой процент, равный 6% в год. Какую сумму получит клиент в момент получения ссуды?

Методические указания: при расчетах использовать схему простого дисконта.

Задача 13. Фирма берет в банке ссуду размером 50 000 руб. на 3 месяца под 8% простого дисконта . Какую сумму она должна вернуть через три месяца?

Методические указания: при расчетах использовать схему простого дисконта.

Задача 14. Фирма обещалась заплатить за полученное от города помещение 1 200 т.руб. через 5 лет и еще 500 т.руб. через 8 лет относительно момента заключения договора. В силу сложившихся обстоятельств, фирма решила пересмотреть условия сделки: 700 т.руб. выплатить через 3 года, а остальной долг погасить через 6 лет. Какая сумма должна быть выплачена через 6 лет при условии начисления 8% простых годовых.

Задача 15. Транспортная компания собирается приобрести станок стоимостью 550 000 руб. У компании есть два варианта схемы финансирования: либо выплатить цену станка в течение 5 лет по 110 000 руб. в конце каждого года, либо в момент покупки заплатить 150 000 руб., а затем выплачивать в течение четырех лет по 100 000 руб. Выяснить, какой вариант выгоднее, при условии, что стоимость капитала составляет 14% простых годовых.

Задача 16. Банк дает кредиты под ставку 15% годовых. Рассчитать месячную ставку простых процентов.

Задача 17. Ссуда размером 150 тысяч руб. выдана на 6 лет по 10% простых процентов годовых. Определить наращенную сумму.

Задача 18. Ссуда размером 200 тыс. руб. выдана на 7 лет по 15% простых процентов годовых. Определить во сколько раз изменится наращенная сумма, если ставку уменьшить на 1,5%.

Задача 19. По какой ставке простых процентов годовых необходимо отдать в рост капитал, чтоб первоначальный капитал в размере 300 тыс. руб. за 224 дня увеличился в 1,2 раза.

Задача20. Цена актива равняется 15 000 рублям. Его годовая доходность составила 12%. Определить, по какой цене был куплен актив.

Задача 21. Через 60 дней после подписания договора должник уплатит 1500 000 руб. Кредит выдан на условиях 11% годовых (проценты простые).

Какова первоначальная сумма займа. Рассчитать дисконт.

Задача 22. Через 120 дней предприятие должно получить по векселю 1 000 000 руб. Банк приобрел вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 14% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

Задача 23. Три платежа S₁ =4 млн. руб., S₂ =2 млн. руб., S₃ =3 млн. руб. со сроками уплаты соответственно через 70, 120 и 140 дней заменяются одним платежом со сроком уплаты через 200 дней по простой ставке18%. Найти сумму консолидированного платежа (год принять равным 360 дней).

Задача 24. Фирма, в погашение задолженности банку за предоставленный кредит под 25% годовых, должна произвести 2 платежа в сроки 2.05 (122-й день), 18.08 (230-й день) суммами S₁ = 4 млн. руб. и S₂ = 1 млн. руб. Фирма договорилась объединить оба платежа в один суммой S₀= 5 млн. руб. с продлением срока выплаты. Найти срок выплаты консолидированного платежа.

Задача 25. Две суммы ,12 и 10 млн. руб., должны быть выплачены 23.08.13 (235) и 11.01.14 (11). Стороны договорились пересмотреть условия контракта: должник 6.12.13 (340) выплачивает 12 млн. руб., остаток долга гасится 1.04.14 (91). Найти эту сумму при условии, что пересчет осуществляется по ставке простых процентов, равной 12% (год равен 365 дней).

Задача 26. Покупатель приобрел телевизор по цене 3 000 руб., в кредит, уплатив сразу 600 руб. и обязавшись уплатить остальное в течение 12 месяцев, делая ежемесячные равные платежи. Какую сумму он должен выплачивать, если продавец требует за кредит 6% простых в год?

Задача 27. Финансовая компания дает ссуду в 800 000 руб. на 4 года под простой процент, равный 8% в год. Какую сумму получит клиент в момент получения ссуды?

Методические указания: при расчетах использовать схему простого дисконта.

Задача 28. Фирма берет в банке ссуду размером 800 000 руб. на 4 месяца под 10% простого дисконта. Какую сумму она должна вернуть через три месяца?

Методические указания: при расчетах использовать схему простого дисконта.

Задача 29. Фирма обещалась заплатить за полученное от города помещение 1 500 т.руб. сегодня и еще 500 т.руб. через 8 лет относительно момента заключения договора. В силу сложившихся обстоятельств, фирма решила пересмотреть условия сделки: 300 т.руб. выплатить через 3 года, а остальной долг погасить через 6 лет. Какая сумма должна быть выплачена через 6 лет при условии начисления 8% простых годовых.

Задача 30. Транспортная компания собирается приобрести станок стоимостью 800 000 руб. У компании есть два варианта схемы финансирования: либо выплатить цену станка в течение 5 лет по 160 000 руб. в конце каждого года, либо в момент покупки заплатить 200 000 руб., а затем выплачивать в течение четырех лет по 150 000 руб. Выяснить, какой вариант выгоднее, при условии, что стоимость капитала составляет 12% простых годовых.