Лабораторная работа № 3 Исследование резонансных явлений в неразветвленной электрической цепи с источником синусоидальной эдс
Цель работы:
Исследовать электрическое состояние линейной неразветвленной электрической цепи синусоидального тока при различных значениях нагрузок.
Задание:
1. Экспериментально проверить условие возникновения резонанса напряжений.
2. По данным опыта построить векторные диаграммы напряжений и тока.
3. Рассчитать параметры отдельных элементов электрической цепи.
4. Вычислить: коэффициент потерь мощности (cos φ), потребляемую активную Р, реактивную Q и полную S мощность при различных параметрах цепи.
Используемое оборудование и приборы:
1.Стенд для исследования принципа работы последовательной цепи, содержащей:
Источник ЭДС, катушку индуктивности, конденсаторы (набор) и провода.
2. Амперметр переменного тока (мультиметр) с пределом измер. 0 – 1 А (1 шт.)
3. Вольтметр переменного тока (мультиметр) с пределом измер. 0 – 60 В (3 шт.)
4. Ваттметр с пределом измерения Р = 0 – 50 Вт. (1 шт.)
* 5. Генератор переменного тока с регулируемой частотой 0 – 3 кГц;
(*) в случае достижения резонанса за счет изменения частоты источника ЭДС.
Краткие теоретические сведения о резонансных явлениях
Неразветвленная электрическая цепь с источником синусоидальной ЭДС с последовательно соединенными нагрузками (рис. 3.1), характеризуемыми сосредоточенными параметрами R, L, C, не зависящими от тока и напряжения на соответствующих элементах, называется линейной цепью.
Добиться резонанса в электрической цепи при неизменной частоте источника ЭДС можно при изменении параметров цепи: емкости С, либо индуктивности L.
Изменять величину С емкости в цепи несколько проще и выгоднее, чем L.
Если к цепи приложено мгновенное напряжение u = Um·sin(ωt+ψu), (3.1)
то мгновенный и действующий токи составят:
i = Im·sin(ωt – ψi) = I2·sin(t–i), (3.2)
I
= Im
/ 2,·
(3.3)
где = 2π∙f — угловая частота; t — время;
— угол сдвига фаз между напряжением и током;
i, Im, I - мгновенный, амплитудный и действующий ток;
u, Um, U – мгновен., ампл. и действ-щее напряжение.
Угол сдвига фаз можно определить из треугольника сопротивлений Z, X, R цепи, либо из подобного треугольника мощностей S, Q, P в цепи (рис. 3.1).
Угол сдвига фаз между напряжением и током определяют по формуле:
= (u–i) = arctg(xL–xC)/R = arctg(X/R). (3.4)
Отметим возникновение резонансных свойств в неразветвленной цепи:
а) Резонанс возможен только в цепи синусоидального тока с L и С элементами;
б) Действие источника ЭДС Е создает в цепи падение напряжения UR, UL, UC (В) на соответствующих сопротивлениях R, L и C элементов.
в) Резонансные явления в неразветвленной цепи возникают только в случае близкого равенства сопротивлений ХL ≈ ХС (реактивно-индуктивного в катушке и реактивно емкостного в конденсаторе), при const значении активного сопротивления RL.
*Добиться равенства ХL = ХС можно только теоретически, а практически сложно.
г) Полное сопротивление неразветвленной цепи зависит от сопротивлений R, L, C элементов, и в случае резонанса полное сопротивление цепи падает (Z→R), т.к. теоретически при ХL = ХС, (Z = R). Полное сопротивление цепи составляет:
Ź
= R+jX,
либо Z
= RL2
+ (XL–XC)2.
д) Можно отметить, что согласно закона Ома на равных сопротивлениях цепи наблюдаются равные падения напряжений, которые можно контролировать вольтметрами, установленными на соответствующих элементах L и C, т.е. при UL ≈ UС в цепи будет наблюдаться последовательный резонанс (резонанс напряжений).
* Равенство параметров UL = UС не соответствует равенству ХL = ХС по причине
того, что входящее в катушку L активное сопротивление провода RL создает
дополнительное падение напряжения UR, присутствующее в UL, т.е. UL = U′L+ UR.
Следовательно, резонансу соответствует только приближенное равенство UL ≈ UС.
е) Ток в неразветвленной цепи, определяемый полным сопротивлением Z цепи при резонансе достигает максимума Io→ IMАХ, т.к. Z →ZMИН = RL (при ХL = ХС).
ж) При резонансе активная и полная мощность в цепи также стремится к мах. т.е.
Р→РMах, S→SMах и S→P при Р = I2·R и S = I2·Z, а также Z→R.
Реактивная мощность в цепи Q = I2·(XL–XC) снижается Q→0, т.к. при ХL = ХС.
Q
L
= QС.
Полная мощность составит: S
= E·I′
или S
= P2+(QL–QC)2.
При определении S = E·I′ необходимо записывать ток в сопряженной форме (I′)!
* Говорить о том, что при резонансе в цепи реактивная мощность отсутствует –
ошибочно, т.к. в этом случае мощность Q просто резонирует между элементами L и C, и не отбирает эту мощность Q от источника ЭДС для перезарядки L и C.
Рассмотрим основные свойства элементов в неразветвленной цепи
Теоретически реактивные сопротивления цепи определяются выражениями:
xL = ω·L = 2π·fL или xL = UL/I,
и xC = 1/ω·C = 1/(2π·f·C) или xC = UC/I, (3.5)
называют реактивным индуктивным и емкостным сопротивлением, а их разность
Х = (ХL – ХC) = (UL – UC) / I0 - реактивным сопротивлением цепи.
При условии XL > XC в цепи преобладает активно-индуктивная нагрузка; угол сдвига фаз (напряжения по отношению к току) – положительный.
Если XL < XC в цепи преобладает активно-емкостная нагрузка, то угол сдвига фаз (напряжение по отношению к току) – отрицательный.
При условии XL = XC угол сдвига фаз = 0, напряжение и ток совпадают по фазе, вызывая резонанс напряжений на резонансной частоте fРЕЗ и ωРЕЗ.
f
РЕЗ
= 1/(2π· L·C;
(Гц) ωРЕЗ
= 1/
L·C
, [L·C
= (1/рад·сек2)]. (3.6)
Расчет параметров в цепях переменного тока лучше проводить символическим методом по действующим значениям напряжения и тока. Уравнение электрического состояния цепи (рис. 3.1) в комплексной форме имеет вид:
Ē = ŪВХ = ŪR + ŪL + ŪC; Ē = Ī·R + Ī·jХ = Ī ·(R + jХL - jХC). (3.7)
Величина Ź = [R+j(ХL-ХC)]
называется полным комплексным сопротивлением цепи (входным сопротивлением неразветвленной цепи).
В показательной форме полное комплексное сопротивление имеет вид:
Ź = Z·ej , (3.8)
где Z — вектор (модуль) комплексного сопротивления, — фаза (аргумент).
Зависимость между действующими значениями тока и напряжения, а также угловой частотой и сосредоточенными параметрами отдельных приемников R, L, C в комплексной форме и в действительном виде составит:
Ī = Ē/Ź; I = Е/Z; (3.9)
Ź
= R+jX; Z = R2
+(XL
+
XC)2. (3.10)
* Полное сопротивление Z цепи при резонансе несколько больше сопротивления RL, т.к. сопротивления XL и XC зависят от частоты и, в общем случае XL ≠ XC.
Протекающий в цепи ток создает падения напряжений на элементах L и C:
UL = I·xL; UC = I·xC. (3.11)
При взаимной компенсации напряжений UL и UC имеет место резонанс напряжений, при котором полное сопротивление цепи Z равно активному RL, и действующее значение тока в цепи достигает максимального значения:
Z = RL ; I = Е/RL. (3.12)
При резонансе действующие значения напряжений на L и C элементах:
UL = I·(ХL) и UC = I·(ХC), (3.13)
будут больше напряжения источника ЭДС Е в исследуемой электрической цепи, которое уравновешивается падением напряжения на резисторе RL.
Повышение напряжений UL и UC на реактивных элементах по сравнению с напряжением Е имеет место при существовании неравенств:
RL < XL и RL < XС.
В случае резонанса величина UL и UС превышает величину источника ЭДС.
Повышение напряжения на реактивных элементах по сравнению с напряжением U характеризует добротность q цепи (качественный параметр):
q = UL/Е = UC/Е = XL/RL = XC/RL. (3.14)
Мгновенную мощность в цепи определяют как произведение мгновенных величин напряжения (u) и тока (i):
p(t) = (u·i). (3.15)
Среднее, за период, значение мощности составит:
T
P = [ ∫(u·i)dt ] / T = Е·I·cos = URL·I = RL·I2. (3.16)
0
Активная мощность характеризует среднюю мощность преобразования энергии в цепи. Реактивная мощность Q два раза за период запасается (в виде кинетической энергии в катушке, либо в виде потенциальной энергии в конденсаторе), т.е. периодически генерирует в элементах L и C, не требуя для их перезарядки значительной энергии от источника ЭДС - (достоинство). Тогда,
Q = X·I2 = (UL – UC)I0. (ВАР). (3.17)
Амплитуду колебания мощности в цепи характеризуют полной мощностью S, определяемой как действие тока в элементах при преобразовании энергии.
Между активной, реактивной и полной мощностями существует соотношение:
S =
U·I′;
(Ś = Ū·Ī′);
Ś = P +jQ;
(ВА)
(4.15)
При определении S = E·I′ необходимо записывать ток в сопряженной форме (I′)!
Активную и реактивную мощность можно выразить через угол сдвига :
P = S·cos; Q = S·sin; (3.19)
Если реактивная мощность Q положительная, то она носит индуктивный характер, а если отрицательная – то носит емкостный характер.
При постоянных параметрах L и C добиться резонанса можно также при изменении частоты f источника ЭДС (генератора).
Активное сопротивление R на частоту резонанса не влияет, а определяет ток и добротность цепи. Добротность при резонансе, как следует из условия резонанса больше единицы и зависит от параметров L, C, f.
Реактивное сопротивление цепи при последовательном резонансе называют волновым или характеристическим сопротивлением цепи:
ρ
= 2·f0·L
= 1/(2·f0·C)
=
L/C. (3.20)
В зависимости от соотношения между XL и XC сопротивление Z может носить индуктивный или емкостный характер или быть чисто активным. Векторные диаграммы напряжений при разных величинах нагрузок приведены на рис. 3.2.
Рис.3.2. Векторные диаграммы для различного рада доминирующей нагрузки
Порядок построения векторной диаграммы
Векторную диаграмму строят по уравнению Ē = [(ŪR+ŪL)+ŪC] = ŪK + ŪC;
где (ŪR и ŪL) = ŪK активно-индуктивная составляющая напряжения в катушке.
1. Вектор I совмещают с действительным направлением оси +1 (рис. 3.3).
2. Вектор ŪR изображают на оси абсцисс параллельно векторам I и U.
3. Вектор ŪL изображают опережающим к вектору тока I на угол (/2).
4. Замыкающим будет вектор ŪК, являющийся суммой ŪК = ŪR + jŪL.
5
.
Вектор ŪC
отстает от вектора тока I
на угол (/2).
6. Замыкающим будет вектор Ē = ŪR + j(ŪL – ŪС).
Для исследуемой катушки известно UK, I, PК = P
(активная мощность выделяется на катушке).
Отсюда можно рассчитать параметры катушки:
ZК
= ŪК/I;
RК
= PК/IК2;
.
Указание: При построении векторной диаграммы необходимо помнить, что ŪК = ŪL только при RL ≈ 0.
У исследуемой катушки омическое сопротивление RL ≠ 0, т.е. RL > 0,
поэтому ŪК = ŪR + jŪL, где величины составят: ŪR = RL·I; и ŪL = XL·I.