Случайная величина

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие слу­чайной величины. Прежде чем переходить к формальному его определению, мы остановимся на рассмотрении примеров.

Число космических частиц, попадающих на определенный участок зем­ной поверхности в течение промежутка времени определенной длины, подвержено значительным колебаниям в зависимости от многих случай­ных обстоятельств.

Число вызовов, поступивших от абонентов на телефонную станцию в течение определенного промежутка времени, не остается постоянным, а подвержено значительным случайным колебаниям.

Размер уклонения точки падения снаряда от центра цели определяется большим количеством разнообразных причин, носящих случайный харак­тер. В результате в теории стрельбы вынуждены считаться с явлением рас­сеивания снарядов около центра цели как со случайным явлением и рас­сматривать указанные уклонения как случайные величины.

Скорость молекулы газа не остается неизменной, а меняется в зависи­мости от столкновений с другими молекулами. Этих столкновений очень много даже в течение короткого промежутка времени. Зная скорость моле­кулы в данный момент, нельзя с полной определенностью указать ее значе­ние, скажем, через 0,01 или 0,001 секунды. Изменение скорости молекулы носит случайный характер.

Приведенные примеры показывают с достаточной определенностью, что со случайными величинами приходится иметь дело в самых разнооб­разных областях науки и техники. Возникает естественная и притом весьма важная задача создания методов изучения случайных величин.

Несмотря на всю разнородность конкретного содержания приведенных нами примеров, все они с точки зрения математики представляют одну и ту же картину. А именно, в каждом примере мы имеем дело с величиной, так или иначе характеризующей исследуемое явление. Каждая из этих ве­личин под влиянием случайных обстоятельств способна принимать различ­ные значения. Заранее предсказать, какое значение примет эта величина, нельзя, так как оно меняется случайным образом от испытания к испы­танию.

Таким образом, для того чтобы знать случайную величину, прежде всего необходимо знать те значения, которые она может принимать. Одна­ко одного перечня значений случайной величины еще недостаточно, чтобы по ним можно было делать какие-либо существенные выводы. Действи­тельно, если в третьем примере рассмотреть газ при разных температурах, то возможные значения скоростей молекул останутся теми же самыми, тогда как состояния газа будут различны. Таким образом, для задания слу­чайной величины необходимо знать не только, какие значения может она принимать, но и как часто, т.е. с какой вероятностью она принимает эти значения.

Под случайной величиной понимается величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное значение, причем заранее, до опыта, неизвестно, какое именно. Случайные величины будем обозначать большими буквами: X, Y, Z; их значения – соответствующими малыми буквами: x, y, z, а Ω_X – множество возможных значений величины X.

Примеры случайных величин:

1. Опыт – бросок одной игральной кости; случайные величины Х – число выпавших очков; Ω_X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.

2. Опыт – работа ЭВМ до первого отказа; случайные величины X – время наработки на отказ; Ω_X = (0, ∞].

В зависимости от вида множества Ω_X случайные величины могут быть дискретными и непрерывными.

Случайная величина (СВ) Х называется дискретной, если множество Ω_X – счетное, т.е. его элементы можно расположить в определенном порядке и пронумеровать.

Случайная величина Х называется непрерывной (недискретной), если множество Ω_X – несчетное.