Разработка нелинейных статических статистических моделей
Кроме линейного полинома, модель может быть представлена в виде квадратичного полинома
. (4.6)
Расчет параметров нелинейного полинома производится по формуле МНК, проводя линеаризирующие замены (вместо произведений и квадратов вводятся новые переменные). Построение квадратичного полинома возможно двумя путями:
Задать полный квадратичный полином и, применяя алгоритм многошагового регрессионного анализа, удалить из него лишние компоненты. Такой подход возможен только при большом объеме строк информационной матрицы.
Добавлять поочередно к линейному полиному произведения и квадраты факторов с наибольшей значимостью, отслеживая оценки полинома.
Кроме квадратичного полинома, возможно построение различных нелинейных моделей, для которых существуют модели, сводящие их к линейным полиномам. Затем, используя полученные линейные полиномы, полученный полином обратной заменой преобразуются в нелинейный.
Для разработанной статистической модели, как и для других моделей, всегда проводится проверка адекватности на реальном объекте. При значительных отклонениях прогноза от факта возможно повторное построение модели на основе новых экспериментальных данных.
Контрольные вопросы:
Общий вид линейного регрессионного полинома?
Что такое регрессия?
Что такое модель «черный ящик»?
Основные этапы построения статической статистической модели?
Типы и правила проведения эксперимента?
Зачем строятся гистограммы и корреляционная матрица?
Каковы критерии качества построенного полинома и что они означают?
Каким методом находятся параметры полинома?
Что такое каскадный регрессионный полином?
Как построить нелинейный регрессионный полином?
5 Методика динамического детерминированного моделирования
Данная методика применяется для создания моделей объектов, изменяющихся во времени (нестационарных). Специфика моделирования заключается в особом построении гипотезы о механизме процесса и формализации зависимостей.
Гипотеза о механизме процесса основывается на рассмотрении объекта на нескольких уровнях декомпозиции. Как правило, выделяют макро- и микроуровни. На макроуровне процессы рассматриваются в общем, «крупными мазками». Например, движение потоков массы и энергии, поступление денежных средств и т.п. На микроуровне эти процессы рассматриваются более детально. Например, из движения каких элементов состоит поток.
На каждом уровне декомпозиции выделяют явления и связи между ними. При динамическом моделировании под явлением будем понимать изменение некоторой величины. В гипотезе описывается протекание каждого явления. Связи между явлениями подразделяются на взаимосвязи явлений одного уровня декомпозиции и связи между явлениями разных уровней декомпозиции. Например, для гипотезы с двумя уровнями декомпозиции возможны связи трёх видов:
связи между явлениями на микроуровне;
связи между явлениями на микро- и макроуровне;
связи между явлениями на макроуровне.
Для упрощения явлений объекта с целью их формального описания принимается ряд допущений. Допущения касаются особенностей протекания физических, экономических, химических и других типов процессов на объекте моделирования. Допущения являются одной из основных частей гипотезы о механизме процессов и обязательно подлежат согласованию с заказчиком, т.к. непосредственно влияют на адекватность модели.
Формализация зависимостей осуществляется на основе физических законов протекания описанных явлений. Каждому явлению обычно соответствует обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Правая часть уравнения описывает составные части этого явления. Величины, общие для правых частей уравнений и зависящие от переменных, стоящих в левой части (которые дифференцируются по времени), рассчитываются отдельно. Кроме того, правые части могут содержать параметры, характеризующие специфику конкретного объекта моделирования.
В результате формализации получается структура математической модели, пригодная для класса объектов моделирования. Для практического использования необходимо разработка процедуры численного решения и параметрической идентификации.
В ряде случаев вводится дискретизации времени, что приводит к дискретно-непрерывной модели, представленной в виде системы разностных уравнений.
Рассмотрим пример синтеза структуры динамической детерминированной модели для индукционной печи.
Предварительная постановка задачи моделирования.
Разработать математическую модель, описывающую получение стали из чугуна в индукционной печи.
Анализ характеристик объекта моделирования.
Печь предназначена для производства стали из твердых слитков чугуна. Химический состав примесей в чугуне приведен в таблице 5.1.
Таблица 5.1
|
|
|
|
4,1% |
2,2% |
1,4% |
0,08% |
В результате технологического процесса чугун превращается в сталь, химический состав примесей которой приведен в таблице 5.2.
Таблица 5.2
|
|
|
|
0,8% |
1,4% |
0,96% |
0,01% |
Таким образом, технологически превращение чугуна в сталь сопровождается выпариванием углерода (3,3%) до заданного в таблице 5.2 химического состава.
Далее рассмотрим устройство и порядок функционирования индукционной печи. Конструкция печи приведена на рисунке 5.1.
Рисунок 5.1 – Конструкция индукционной печи
Ванна
печи представляет собой тигель 1
цилиндрической формы, выполненный из
огнеупорного немагнитного материала
– магнезита. Тигель помещается внутрь
электрического индуктора 2, по которому
проходит электрический ток. Внутрь
ванны помещается исходный чугун. Тигель
окружен контуром охлаждения, по которому
пропускается вода в количестве
(
)
и с температурой
(
).