4.4.3. Построение доверительных интервалов

Конечной целью моделирования является оценка или прогнозирование показателя Y в зависимости от значений X.

Прогноз подразделяется на точечный и интервальный и обычно осуществляется не более чем на одну треть размаха:

=1002,52+317,47/3=1108,34

где - точка прогноза.

В точечном прогнозе показателя Y для определяется лишь одно число, которое представляет условное среднее и (при выполнении предпосылок регрессионного анализа) наиболее вероятное значение с точки зрения закономерности, отраженной в модели. В таком прогнозе не учитываются отклонения от закономерностей в результате воздействия случайных и неучтенных факторов.

В интервальном прогнозе отклонения от закономерностей в результате случайных воздействий определяются границами доверительных интервалов.

Доверительным интервалом называется такой интервал, которому с заданной степенью вероятности (называемой доверительной) принадлежат истинные значения показателя при условии, что закономерности, отраженные в модели, не противоречат развитию как на участке наблюдения, так и на участке оценки (или в периоде упреждения прогноза).

Случайные отклонения от модели проявляются в виде ошибок. Поэтому при определении границ, доверительных интервалов необходимо определить из чего складываются возможные ошибки моделирования, оценки и прогнозирования. При условии, что модель адекватна, и возможные ошибки носят случайный характер, следует различать два основных источника ошибок:

1. ошибки аппроксимации (рассеяние наблюдений относительно модели);

2. ошибки оценок параметров модели.

Наличие ошибок первого типа очевидно даже визуально. Величина ошибок аппроксимации характеризуется остаточной дисперсией или средней квадратической ошибкой . Распределение этих ошибок для адекватных моделей – нормально (нормальность ошибок – одно из условий адекватности).

Ошибки оценок параметров модели обусловлены тем, что их параметры, фиксированные в модели как однозначные, в действительности являются случайными величинами, так как они оцениваются на основе фактических данных, в которых присутствует как закономерная, так и случайная составляющие. Средние значения этих оценок при выполнении предпосылок регрессионного анализа соответствует истинным значениям параметров, а их дисперсии зависят от остаточной дисперсии, числа наблюдений и вида модели.

Общее среднее квадратическое отклонение истинных значений от расчетных может быть представлено как:

(87)

а в точке прогноза:

= 1,0132 (88)

Исходя из предпосылки нормального распределения остатков границы доверительных интервалов определяются по формулам:

(89)

Анализ выражений позволяет для моделей парной регрессии сделать вывод, что доверительные интервалы тем шире, чем:

- больше остаточная дисперсия (менее точна модель);

- значение больше удалено от среднего значения

- сложнее форма модели;

- больше заданная доверительная вероятность.

Обобщая полученные результаты, можно сделать вывод, что построенная модель обладает хорошим качеством, т.е. она достаточно точна и адекватна исследуемому процессу по всем перечисленным ранее критериям. Учитывая еще и нормальность ряда остатков можно осуществлять точечный и интервальный прогнозы. В связи с этим табл. 7.5 приведены данные для построения доверительных интервалов.

1	685,05	11,132	12,62	12,965	14,798	1,833
2	687,93	11,316	12,37	13,147	14,977	1,831
3	689,02	11,385	12,82	13,215	15,045	1,830
4	695,9	11,824	15,47	13,649	15,474	1,825
5	711,11	12,791	15,82	14,607	16,422	1,815
6	711,43	12,812	15,64	14,627	16,442	1,815
7	716,81	13,154	14,45	14,966	16,778	1,812
8	720,11	13,364	14,04	15,174	16,984	1,810
9	720,49	13,388	14,37	15,198	17,008	1,810
10	735,16	14,319	18,12	16,122	17,925	1,803
11	743,39	14,841	16,74	16,641	18,440	1,799
12	755,44	15,605	17,38	17,400	19,194	1,795
13	758,12	15,775	17,52	17,569	19,362	1,794
14	764,69	16,191	17,35	17,982	19,774	1,792
15	764,8	16,198	17,75	17,989	19,781	1,792
16	773,5	16,748	19,35	18,538	20,327	1,790
17	779,72	17,141	17,94	18,929	20,718	1,788
18	783,75	17,396	19,54	19,183	20,971	1,788
19	784,33	17,432	18,1	19,220	21,007	1,788
20	786,88	17,593	19,63	19,380	21,168	1,787
21	787,34	17,622	19,42	19,409	21,197	1,787
22	792,48	17,947	19,93	19,733	21,520	1,787
23	794,16	18,053	18,96	19,839	21,625	1,786
24	807,2	18,875	19,75	20,661	22,446	1,786
25	810,661875	19,109		20,894	22,680	1,786
26	816,08	19,434	20,38	21,220	23,006	1,786
27	817,85	19,546	23,12	21,332	23,117	1,786
28	823,05	19,873	22,32	21,659	23,445	1,786
29	825,54	20,030	22,67	21,816	23,602	1,786
30	828,98	20,246	22,45	22,033	23,819	1,787
31	831,64	20,413	22,43	22,200	23,987	1,787
32	837,72	20,796	21,88	22,583	24,371	1,788
33	838,25	20,829	21,96	22,617	24,405	1,788
34	844,63	21,230	22,21	23,019	24,808	1,789
35	845,37	21,276	23,14	23,065	24,854	1,789
36	852	21,692	22,54	23,483	25,274	1,791
37	853,83	21,807	23,99	23,598	25,389	1,791
38	859,19	22,143	24,86	23,936	25,729	1,793
39	863,96	22,442	25,58	24,236	26,031	1,794
40	875,11	23,141	24,7	24,939	26,737	1,798
41	876,17	23,207	24,76	25,006	26,804	1,799
42	878,24	23,337	25,26	25,136	26,935	1,799
43	898,85	24,626	25,72	26,435	28,244	1,809
44	914,79	25,621	27,13	27,439	29,257	1,818
45	917,13	25,766	25,7	27,586	29,406	1,820
46	918,86	25,874	27,93	27,695	29,516	1,821
47	954,75	28,109	31,47	29,956	31,804	1,848
48	988,45	30,200	32,44	32,079	33,959	1,879
49	1002,52	31,071	33,21	32,966	34,860	1,894
50	1108,34	38,651		39,632	40,614	2,346

Массив дополнен двумя значениями: и , которые выделены жирным шрифтом. Значения: - ширина доверительного интервала; - нижняя граница доверительного интервала; - верхняя граница доверительного интервала вычислены по формулам (7.53) с доверительной вероятностью 0,95 и соответствующим ей коэффициентом доверия Стьюдента 2,315. Выбор распределения Стьюдента обусловлен достаточно большим значением относительного показателя асимметрии остатков.

График доверительных интервалов и график их ширины приведены на рис. 7.4 и 7.5.

Рис. 7.4 График доверительных интервалов

Рис. 7.5 График ширины доверительных интервалов

С учетом нормального распределения остатков при среднем значении активов банков равном 1108,34 млн. руб. с вероятностью 0,95 прогнозируемая прибыль банков за квартал составят от 38,6 до 40,61 млн. руб., при этом условное среднее (наиболее вероятный объём поступлений) ожидается 39,63 млн. руб.