2.2. Литература

Основная литература

1. Демидович Б. П. Кудрявцев В. А., Краткий курс высшей математики. М.: Астрель, АСТ, 2004. Наука, 1975. 656 стр.

2. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике. М.: Физматлит, 2001. 336 стр.

3. Карташова Л. В., Колесов В.В., Маркман Г.С. Программа и индивидуальные задания по курсу “Высшая математика” для студентов 1 курса дневного отделения биолого-почвенного факультета (Методические указания). РГУ. УПЛ, Ростов-на-Дону, 1985. 30 стр.

4. Колесов В. В., Моршнева И. В., Норкин М. В. Теория пределов. Пособие по курсу "Высшая математика" для студентов первого курса биолого-почвенного факультета. РГУ. УПЛ, Ростов-на-Дону, 2005. 26 стр.

Дополнительная литература

5. Гильдерман Ю. И. Лекции по высшей математике для биологов. Новосибирск: Наука, 1974.

6. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшее образование, 2006. 576 стр.

7. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшее образование, 2006. 476 стр.

8. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. Часть 1. М.: Проспект, Издательство Московского университета, 2006. 880 стр.

9. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. Часть 2. М.: Проспект, Издательство Московского университета, 2006. 357 стр.

2.3. Методические рекомендации студентам по самостоятельной работе

Для самоконтроля знаний рекомендуется ответить на следующие вопросы.

Вопросы для самоконтроля по теме “Функция”

1. Дать определение функции.

2. Что такое область определения и множество значения функции?

3. Дать определение четной функции.

4. Дать определение нечетной функции.

5. Дать определение периодической функции.

6. Дать определение ограниченной функции.

7. Дать определение суперпозиции функций.

8. Дать определение обратной функций.

9. Чем однозначная функция отличается от многозначной?

Вопросы для самоконтроля по теме “Теория пределов”

1. Дать определение предела функции.

2. Дать определение бесконечно малой величины.

3. Дать определение бесконечно большой величины.

4. Сформулировать и доказать теорему о сумме бесконечно малых величин.

5. Сформулировать и доказать теорему о произведении бесконечно малых величин.

6. Сформулировать и доказать теорему о произведении бесконечно малой величины на ограниченную функцию.

7. Как осуществляется сравнение бесконечно малых величин?

8. Сформулировать и доказать теорему о пределе постоянной.

9. Сформулировать и доказать теорему о пределе суммы.

10. Сформулировать и доказать теорему о пределе произведения.

11. Сформулировать и доказать теорему о пределе частного.

12. Сформулировать и доказать теорему о единственности предела.

13. Сформулировать и доказать теорему об ограниченности функции, имеющей предел.

14. Выписать первый замечательный предел.

15. Выписать второй замечательный предел.

Вопросы для самоконтроля по теме “Непрерывность функции”

1. Дать два определения непрерывности функции в точке и доказать их эквивалентность.

2. Какие бывают точки разрыва у функции?

3. Сформулировать и доказать теорему об арифметических операциях с непрерывными функциями.

4. Доказать непрерывность функции y=e^x.

5. Доказать непрерывность функции y=a^x.

6. Доказать непрерывность функции y=lnx.

7. Доказать непрерывность функции y=log_ax.

8. Доказать непрерывность функции y=sinx.

9. Доказать непрерывность функции y=cosx.

10. Доказать непрерывность функции y=tgx.

11. Доказать непрерывность функции y=ctgx.

Вопросы для самоконтроля по теме “Производная”

1. Дать определение производной.

2. В чем состоит геометрический смысл производной?

3. В чем состоит механический смысл производной?

4. Какова связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции?

5. Вывести формулу для производной постоянной.

6. Вывести формулу для производной суммы функций.

7. Вывести формулу для производной произведения функций.

8. Вывести формулу для производной частного функций.

9. Вывести формулу для производной сложной функции.

10. Вывести формулу для производной обратной функции.

11. Написать таблицу производных элементарных функций.

12. Вывести формулу для производной функции y=e^x.

13. Вывести формулу для производной функции y=a^x.

14. Вывести формулу для производной функции y=lnx.

15. Вывести формулу для производной функции y=log_ax.

16. Вывести формулу для производной функции y=sinx.

17. Вывести формулу для производной функции y=cosx.

18. Вывести формулу для производной функции y=tgx.

19. Вывести формулу для производной функции y=ctgx.

20. Вывести формулу для производной функции y=arcsinx.

21. Вывести формулу для производной функции y=arccosx.

22. Вывести формулу для производной функции y=arctgx.

23. Вывести формулу для производной функции y=arcctgx.

24. Что такое производная второго порядка?

25. Что такое производная n-го порядка?

26. Сформулировать и доказать теорему Роля.

27. Сформулировать и доказать теорему Лагранжа о конечном приращении.

28. Сформулировать и доказать правило Лопиталя.

Вопросы для самоконтроля по теме “Применения производной”

1. Дать определение возрастания функции в точке и на отрезке.

2. Дать определение убывание функции в точке и на отрезке.

3. Сформулировать и доказать необходимое условие возрастания функции в точке.

4. Сформулировать и доказать необходимое условие убывания функции в точке.

5. Сформулировать и доказать достаточное условие возрастания функции в точке.

6. Сформулировать и доказать достаточное условие убывания функции в точке.

7. Дать определение максимума функции.

8. Дать определение минимума функции.

9. Дать определение экстремума функции.

10. Сформулировать и доказать необходимое условие экстремума функции.

11. Сформулировать и доказать два достаточных условия экстремума функции.

12. Как находится наибольшее и наименьшее значения функции на открытом промежутке?

13. Как находится наибольшее и наименьшее значения функции на замкнутом промежутке?

14. Дать определение выпуклости функции и на отрезке.

15. Дать определение вогнутости функции и на отрезке.

16. Сформулировать и доказать необходимое условие выпуклости функции в точке.

17. Сформулировать и доказать необходимое условие вогнутости функции в точке.

18. Сформулировать и доказать достаточное условие выпуклости функции в точке.

19. Сформулировать и доказать достаточное условие вогнутости функции в точке.

20. Дать определение точки перегиба функции.

21. Как разыскиваются точки перегиба функции?

22. Вывести уравнение касательной.

23. Изложить алгоритм метода Ньютона для решения уравнения f(x)=0.

Вопросы для самоконтроля по теме “Дифференциал”

1. Дать определение дифференциала.

2. Какова связь между дифференциалом функции и ее производной?

3. В чем состоит геометрический смысл дифференциала?

4. Сформулировать и доказать свойства дифференциала.

Вопросы для самоконтроля по теме “Неопределенный интеграл”

1. Дать определение первообразной.

2. Какова связь между неопределенным интегралом и первообразной?

3. Сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла.

4. Написать таблицу неопределенных интегралов элементарных функций.

5. Как осуществляется замена переменной в неопределенном интеграле? Привести пример.

6. Как осуществляется интегрирование по частям в неопределенном интеграле? Доказать формулу и привести пример.

Вопросы для самоконтроля по теме “Определенный интеграл”

1. Записать формулу Ньютона-Лейбница.

2. Сформулировать и доказать свойства определенного интеграла.

3. Вывести формулу для отыскания площади криволинейной трапеции.

4. Как осуществляется замена переменной в определенном интеграле? Привести пример.

5. Как осуществляется интегрирование по частям в определенном интеграле? Доказать формулу и привести пример.

6. Дать определение интеграла с переменным верхним пределом.

7. Вывести формулу для приближенного вычисления определенного интеграла.

8. Что такое несобственный интеграл?

9. Вывести формулу для вычисления объема тела по заданной площади поперечного сечения.

10. Вывести формулу для вычисления объема тела вращения.

11. Вывести формулу для вычисления длины дуги плоской кривой.

12. Вывести формулу для вычисления площади поверхности тела вращения.

Вопросы для самоконтроля по теме “Комплексные числа”

1. Дать определение мнимой единицы.

2. Дать определение комплексного числа.

3. Дать определение комплексно сопряженных чисел.

4. В чем состоит геометрическое представление комплексного числа?

5. Как представить комплексное число в тригонометрической форме?

6. Как складываются комплексные числа?

7. Как вычитаются комплексные числа?

8. Как умножаются комплексные числа?

9. Как делятся комплексные числа?

10. Как комплексное число возводится в n-ю степень?

11. Как из комплексного числа извлекается корень n-ой степени?

12. Что такое функция комплексной переменной?

13. Записать формулу Эйлера.

14. Сформулировать основную теорему алгебры.

Вопросы для самоконтроля по теме “Функция нескольких переменных”

1. Дать определение функции нескольких переменных.

2. Что такое область определения и множество значения нескольких переменных?

3. Дать определение непрерывности функции нескольких переменных.

4. Дать определение частной производной функции нескольких переменных.

5. Дать определение полного дифференциала функции нескольких переменных.

6. Дать определение экстремума функции нескольких переменных.

7. Описать алгоритм подбора эмпирических формул с помощью метода наименьших квадратов.

Вопросы для самоконтроля по теме “Дифференциальные уравнения”

1. Дать определение дифференциального уравнения n-го порядка.

2. Что такое частное решение дифференциального уравнения n-го порядка?

3. Что такое общее решение дифференциального уравнения n-го порядка?

4. Как ставится задача Коши для дифференциального уравнения n-го порядка?

5. Как ставится краевая задача для дифференциального уравнения n-го порядка?

6. Как решается дифференциальное уравнение вида y’=f(x)?

7. Как решается дифференциальное уравнение вида y’=f(y)?

8. Как решается дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными?

9. Как решается однородное дифференциальное уравнение первого порядка?

10. Как решается линейное дифференциальное уравнение первого порядка?

11. Сформулировать и доказать свойства решений линейного дифференциального уравнения второго порядка.

12. Что такое линейная комбинация функций?

13. Дать определение линейно независимых функций.

14. Что такое характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами?

15. Как решается линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами в случае, когда дискриминант его характеристического уравнения положителен?

16. Как решается линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами в случае, когда дискриминант его характеристического уравнения равен нулю?

17. Как решается линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами в случае, когда дискриминант его характеристического уравнения отрицателен?

18. Изложить алгоритм решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных.

Вопросы для самоконтроля по теме “Элементы векторной алгебры”

1. Дать определение вектора в n-мерном евклидовом пространстве.

2. Как находится сумма векторов?

3. Как находится разность векторов?

4. Как находится произведение вектора на число?

5. Как находится скалярное произведение векторов?

6. Как установить, что два вектора ортогональны?

7. Как находится длина вектора?

8. Дать определение матрицы.

9. Дать определение нулевой матрицы.

10. Дать определение диагональной матрицы.

11. Дать определение единичной матрицы.

12. Дать определение транспонированной матрицы.

13. Как находится сумма матриц?

14. Как находится разность матриц?

15. Как находится произведение матрицы на число?

16. Как находится произведение матрицы на вектор?

17. Как находится произведение матриц?

18. Дать определение обратной матрицы.

19. Дать определение определителя матрицы.

20. Сформулировать свойства определителя матрицы.

21. Изложить алгоритм решения системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

22. Изложить алгоритм решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Вопросы для самоконтроля по теме “Элементы теории вероятностей”

1. Дать определение достоверного события.

2. Дать определение невозможного события.

3. Дать определение случайного события.

4. Дать классическое определение вероятности реализации некоторого события.

5. Дать статистическое определение вероятности реализации некоторого события.

6. Что такое геометрическая вероятность?

7. Что такое совместные события? Привести пример.

8. Что такое несовместные события? Привести пример.

9. Что такое полная группа событий? Привести пример.

10. Что такое сумма событий? Привести пример.

11. Как находится вероятность суммы событий?

12. Что такое зависимые события? Привести пример.

13. Что такое независимые события? Привести пример.

14. Что такое произведение событий? Привести пример.

15. Что такое условная вероятность? Привести пример.

16. Как находится вероятность произведения независимых событий?

17. Как находится вероятность произведения зависимых событий?

18. Записать формулу полной вероятности.

19. Записать формулу Бейеса вероятностей гипотез.

20. Что такое схема испытаний Бернулли?

21. Сформулировать закон больших чисел.

22. Сформулировать локальную теорему Лапласа.

23. Сформулировать интегральную теорему Лапласа.

24. Дать определение дискретной случайной величины.

25. Дать определение распределения дискретной случайной величины.

26. Дать определение математического ожидания дискретной случайной величины.

27. Что характеризует математическое ожидание дискретной случайной величины?

28. Сформулировать и доказать свойства математического ожидания дискретной случайной величины.

29. Дать определение дисперсии дискретной случайной величины.

30. Что характеризует дисперсия дискретной случайной величины?

31. Сформулировать и доказать свойства дисперсии дискретной случайной величины.

32. Дать определение непрерывной случайной величины.

33. Дать определение распределения непрерывной случайной величины.

34. Дать определение плотности вероятности непрерывной случайной величины.

35. Дать определение распределения непрерывной случайной величины.

36. Что такое равномерное распределение непрерывной случайной величины?

37. Что такое нормальное распределение непрерывной случайной величины?

38. Дать определение корреляции случайных величин.

39. Дать определение коэффициента корреляции случайных величин.

40. Дать определение момента корреляции случайных величин.

Вопросы для самоконтроля по теме “Элементы математической статистики”

1. Дать определение генеральной совокупности.

2. Дать определение выборки.

3. Как находится эмпирическое распределение случайной величины?

4. Дать определение полигона.

5. Дать определение гистограммы.

6. Дать определение выборочного среднего как одной из оценок параметров распределения.

7. Как находится выборочное среднее по выборочным данным?

8. Дать определение моды как одной из оценок параметров распределения.

9. Как находится мода по выборочным данным?

10. Как находится медиана по выборочным данным?

11. Дать определение медианы как одной из оценок параметров распределения.

Студентам, испытывающим серьезные трудности при изучении курса высшей математики, рекомендуется в первую очередь разобрать следующие вопросы.

Тема “Функция”

1. Дать определение функции.

2. Что такое область определения и множество значения функции?

3. Дать определение ограниченной функции.

4. Дать определение суперпозиции функций.

Тема “Теория пределов”

1. Дать упрощенное определение предела функции.

2. Дать определение бесконечно малой величины.

3. Сформулировать теорему о сумме бесконечно малых величин.

4. Сформулировать теорему о произведении бесконечно малых величин.

5. Сформулировать теорему о произведении бесконечно малой величины на ограниченную функцию.

6. Сформулировать теорему о пределе постоянной.

7. Сформулировать теорему о пределе суммы.

8. Сформулировать теорему о пределе произведения.

9. Сформулировать теорему о пределе частного.

10. Выписать первый замечательный предел.

Тема “Непрерывность функции”

1. Дать определение непрерывности функции в точке.

2. Какие бывают точки разрыва у функции?

Тема “Производная”

1. Дать определение производной.

2. В чем состоит геометрический смысл производной?

3. В чем состоит механический смысл производной?

4. Записать основные формулы дифференцирования функций.

5. Написать таблицу производных элементарных функций.

Тема “Применения производной”

1. Дать определение возрастания функции в точке и на отрезке.

2. Дать определение убывание функции в точке и на отрезке.

3. Как на практике установить факт возрастания или убывания функции?

4. Дать определение максимума функции.

5. Дать определение минимума функции.

6. Дать определение экстремума функции.

7. Как на практике установить факт наличия у функции экстремума?

Тема “Дифференциал”

1. Дать определение дифференциала.

2. Какова связь между дифференциалом функции и ее производной?

Тема “Неопределенный интеграл”

1. Дать определение первообразной.

2. Какова связь между неопределенным интегралом и первообразной?

3. Сформулировать свойства неопределенного интеграла.

4. Написать таблицу неопределенных интегралов элементарных функций.

5. Как осуществляется замена переменной в неопределенном интеграле? Привести пример.

6. Как осуществляется интегрирование по частям в неопределенном интеграле? Привести пример.

Тема “Определенный интеграл”

1. Записать формулу Ньютона-Лейбница.

2. Сформулировать свойства определенного интеграла.

3. Как осуществляется замена переменной в определенном интеграле? Привести пример.

4. Как осуществляется интегрирование по частям в определенном интеграле? Доказать формулу и привести пример.

Тема “Комплексные числа”

1. Дать определение мнимой единицы.

2. Дать определение комплексного числа.

3. Дать определение комплексно сопряженных чисел.

4. В чем состоит геометрическое представление комплексного числа?

5. Как складываются комплексные числа?

6. Как вычитаются комплексные числа?

7. Как умножаются комплексные числа?

8. Как делятся комплексные числа?

9. Сформулировать основную теорему алгебры.

Тема “Функция нескольких переменных”

1. Дать определение функции нескольких переменных.

2. Что такое область определения и множество значения нескольких переменных?

3. Дать определение частной производной функции нескольких переменных.

Тема “Дифференциальные уравнения”

1. Дать определение дифференциального уравнения n-го порядка.

2. Что такое частное решение дифференциального уравнения n-го порядка?

3. Что такое общее решение дифференциального уравнения n-го порядка?

4. Как ставится задача Коши для дифференциального уравнения n-го порядка?

5. Как ставится краевая задача для дифференциального уравнения n-го порядка?

6. Как решается дифференциальное уравнение вида y’=f(x)?

7. Как решается дифференциальное уравнение вида y’=f(y)?

8. Как решается дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными?

9. Что такое характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами?

10. Как решается линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами в случае, когда дискриминант его характеристического уравнения положителен?

11. Как решается линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами в случае, когда дискриминант его характеристического уравнения равен нулю?

12. Как решается линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами в случае, когда дискриминант его характеристического уравнения отрицателен?

Тема “Элементы векторной алгебры”

1. Дать определение вектора в n-мерном евклидовом пространстве.

2. Как находится сумма и разность векторов?

3. Как находится произведение вектора на число?

4. Как находится скалярное произведение векторов?

5. Как находится длина вектора?

6. Дать определение матрицы.

7. Дать определение нулевой матрицы.

8. Дать определение диагональной матрицы.

9. Дать определение единичной матрицы.

10. Как находится сумма матриц?

11. Как находится разность матриц?

12. Как находится произведение матрицы на число?

13. Как находится произведение матрицы на вектор?

Тема “Элементы теории вероятностей”

1. Дать определение достоверного события.

2. Дать определение невозможного события.

3. Дать определение случайного события.

4. Дать классическое определение вероятности реализации некоторого события.

5. Дать статистическое определение вероятности реализации некоторого события.

6. Что такое совместные события? Привести пример.

7. Что такое несовместные события? Привести пример.

8. Что такое полная группа событий? Привести пример.

9. Что такое сумма событий? Привести пример.

10. Как находится вероятность суммы событий?

11. Что такое зависимые события? Привести пример.

12. Что такое независимые события? Привести пример.

13. Что такое произведение событий? Привести пример.

14. Что такое условная вероятность? Привести пример.

15. Как находится вероятность произведения независимых событий?

16. Как находится вероятность произведения зависимых событий?

17. Дать определение дискретной случайной величины.

18. Дать определение распределения дискретной случайной величины.

19. Дать определение математического ожидания дискретной случайной величины.

20. Что характеризует математическое ожидание дискретной случайной величины?

21. Дать определение дисперсии дискретной случайной величины.

22. Что характеризует дисперсия дискретной случайной величины?

Тема “Элементы математической статистики”

1. Дать определение генеральной совокупности.

2. Дать определение выборки.

3. Как находится эмпирическое распределение случайной величины?

Для изучения методов решения задач студентам, испытывающим серьезные трудности при изучении курса высшей математики, рекомендуется в первую очередь разобрать следующие темы.

1. Вычисление пределов, не содержащих неопределенностей.

2. Раскрытие простейших неопределенностей вида 0 / 0.

3. Раскрытие простейших неопределенностей вида ∞ / ∞.

4. Нахождение производной сложной функции.

5. Нахождение неопределенного интеграла с помощью таблицы неопределенных интегралов и простейших свойств неопределенного интеграла.

6. Нахождение неопределенного интеграла с помощью замены переменной.

7. Нахождение неопределенного интеграла с помощью интегрирования по частям.

8. Нахождение определенного интеграла с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

9. Решение дифференциального уравнения вида y’=f(x).

10. Решение дифференциального уравнения вида y’=f(y).

11. Решение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (уравнений вида y’=f(x) g(y)).

12. Решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (уравнений вида ay’’+by’+cy=0).

13. Решение простейших примеров на отыскание вероятности суммы и произведения событий.