1. Двухмерные преобразования

Группа аффинных преобразований в матричном виде для (x, y, h):

Смещение (перенос):

(x’, y’, 1) = (x, y, 1) * T,

Для композиции переносов матрицы Т надо перемножить, результат будет такой:

Масштабирование:

(x’, y’, 1) = (x, y, 1) * S, , результат умножения

Поворот вокруг начала координат (вокруг оси z):

, два поворота

2. Трехмерные преобразования

Группа аффинных преобразований в матричном виде для (x, y, z, h):

пример: построить матрицу вращения на угол φ вокруг прямой L, проходящей через точку A(a,b,c) и имеющей направляющие косинуса l,m,n.

получим произведение шести матриц (некоммутативное):

(перемножение справа налево)

а) осуществляется перенос прямой L, чтобы она проходила через начало координат.

б) совмещение прямой с осью Z двумя поворотами x R и y R вокруг осей X и Y.

в) собственно вращение на угол φ г) обратные повороты и смещения.

11. >Представление пространственных форм. Полигональные сетки. (Прохоров)

Для описания трехмерных форм необходимы поверхности – примитивы более высокого уровня, чем отрезки.

Полигональной сеткой является совокупность связанных между собой плоских многоугольников. Полигональные сетки применяются также для представления объектов, ограниченных криволинейными поверхностями. Однако недостатком этого метода является его приблизительность. Видимые ошибки в таком представлении можно сделать сколь угодно малыми, используя все большее число многоугольников для улучшения кусочно-линейной аппроксимации объекта, но это приведет к дополнительным затратам памяти и вычислительного времени для алгоритмов, работающих с таким представлением.

Параметрические бикубические куски описывают координаты точек на искривленной поверхности с помощью трех уравнений (по одному для х, у и z). Каждое из уравнений имеет две переменные (два параметра), причем показатели степени при них не выше третьей (отсюда название бикубический). Границами кусков являются параметрические кубические кривые. Для представления поверхности с заданной точностью требуется значительно меньшее число бикубических кусков, чем при аппроксимации полигональной сеткой. Однако алгоритмы для работы с бикубическими объектами существенно сложнее алгоритмов, имеющих дело с многоугольниками.

При использовании обоих методов трехмерное тело представляется в виде замкнутой поверхности.

Полигональная сетка – совокупность связанных между собой плоских многоугольников,чем их больше, тем меньше ошибок при предст-ии. объекта.

Явное задание многоугольников: многоуг-к. зад-ся. списком вершин, которые соед-ся. рёбрами.

«-» многие рёбра строятся дважды, тратится память на хран. инфы об общих вершинах.

Задание многоуг. с пом. указателей на список вершин: многоуг-и. зад-ся указ-ми.

Явное задание рёбер: многоуг-к. опис. как список указ-й. на рёбра. Рёбра указ-т на вершины, между кот. лежат и на многоуг-и. к кот. принадл-т.

12. >Параметрические кубические кривые (формы Эрмита, Безье, В-сплайн). (Похоров

Поскольку через две точки можно провести сколь угодно много гладких кривых, то для решения этой задачи необходимо ограничить класс функций, которые будут определять искомую кривую. Математическими сплайнами называют функции, используемые для аппроксимации кривых. Важным их свойством является простота вычислений. На практике часто используют сплайны вида полиномов третьей степени.

Задание кривых в трехмерном пространстве. В случае функционального задания кривой

Этот способ представления влечет за собой многие ограничения, особенно, если некоторым значениям координат x и y будут соответствовать несколько значений z, т.е. если кривая образует петлю. Кроме того, в некоторых точках кривой значение тангенса угла наклона может оказаться равным бесконечности.

Эти проблемы снимаются в случае параметрического способа представления кривых, когда координаты x, y и z описываются как функции от некоторого параметра t:

x = f(t),

y = f(t),

z = f(t). (4.2)

Кубическим параметрическим сплайном назовем следующую систему уравнений:

Координаты точек на кривой описываются вектором а три производные задают координаты соответствующего касательного вектора в точке.

Одним из способов задания параметрического кубического сплайна является указание координат начальной и конечной точек, а также векторов касательных в них. Такой способ задания называется формой Эрмита.

Обозначим концевые точки P1 и P4, а касательные векторы в них R1и R4.

Будем решать задачу нахождения четверки коэффициентов ax, bx, cx, dx, так как для оставшихся двух уравнений коэффициенты находятся аналогично. Запишем условие для построения сплайна:

(*)

Перепишем выражение для x в векторном виде: .

Обозначим вектор строку и вектор столбец коэффициентов Cx=[a,b,c,d]x

тогда

Из (*) следует, что

Для касательных

Отсюда получаем векторно-матричное уравнение:

Эта система решается относительно Сx нахождением обратной матрицы размером 4x4.

Mh - Эрмитова матрица, Gh - Геометрический вектор эрмита

и Аналогично для остальных координат

ем в явном виде формулы для вычисления координат точек сплайна.

тк то умножая справа на Ghx

Четыре функции в скобках называются функциями сопряжения.

Форму кривой, заданной в форме Эрмита, легко изменять, если учитывать, что направление вектора касательной задает начальное направление, а модуль вектора касательной задает степень вытянутости кривой в направлении этого вектора.

Форма Безье

Рассмотрим форму Безье, которая отличается от формы Эрмита способом задания граничных условий, а именно, вместо векторов R1 и R2 вводятся точки (и соответствующие им радиус векторы) P2и P3, такие что выполняются условия: и

Переход от формы Эрмита к форме Безье осуществляется преобразованием:

Gb - геометрический вектор Безье.

Полезным свойством сплайнов в форме Безье является то что кривая всегда лежит внутри выпуклой оболочки, образованной четырехугольником (p1 p2 p3 p4)

Заметим, что матрица вида

называется матрицей Безье.

B сплайны - более гладкие чем другие

Кривая непрерывна. 1 и 2 производные непрерывны

13. >Параметрические кубические поверхности (формы Эрмита, Безье, В-сплайны). (Прохоров)

Параметрические кубические поверхности задаются кубическими уравнениями от двух переменных:

x(s, t) = a_11xs³t³ + a_12xs³t² + a_13xs³t + a_14xs³ + a_21xs²t³ + a_22xs²t² + a_23xs²t + a_24xs² + a_31xst³ + a_32xst² + a_33xst + a_34xs +

+ a_41xt³ + a_42xt² + a_43xt + a_44x.

или

(48 коэфициентов) аналогично y(s,t) z(s,t)

формы Эрмита

перепишем уравнение кубической кривой Эрмита от параметра s так, чтобы геометрический вектор Эрмита был не константой, а функцией от параметра t:

При фиксированном значении параметра t функции P_1x(t) и P_4x(t) описывают х-компоненты начальной и конечной точек кривой, задаваемой параметром s. Аналогично, R_1x(t) и R_4x(t) описывают касательные векторы в конечных точках кубической кривой.

Каждая из кривых P_1x(t), P_4x(t), R_1x(t), R_4x(t) представлена кубическим многочленом в форме Эрмита:

Объединяя эти выражения, получим:

Таким образом, бикубическая поверхность Эрмита задается 16 параметрами, из которых:

q_11x = x(0, 0), q_12x = x(0, 1), q_21x = x(1, 0), q_22x = x(1, 1) – координаты углов куска поверхности;

q_13x = dx/dt (0, 0), q_14x = dx/dt (0, 1), q_23x = dx/dt (1, 0), q_24x = dx/dt (1, 1), q_31x = dx/ds (0, 0), q_32x = dx/ds (0, 1), q_41x = dx/ds (1, 0), q_42x = dx/ds (1, 1) – х-компоненты касательных векторов в угловых точках для каждой из ограничивающих кусок поверхности параметрических кривых;

q_33x = d²x/dsdt (0, 0), q_34x = d²x/dsdt (0, 1), q_43x = d²x/dsdt (1, 0), q_44x = d²x/dsdt (1, 1) – частные производные по обоим параметрам s и t в угловых точках куска поверхности (кривизна).

уравнения для кусков Безье выводятся также, как и для формы Эрмита. В результате получается:

Геометрическая матрица Р_bx состоит из 16 управляющих точек, причем точки Р_11х, Р_14х, Р_41х и Р_44х являются угловыми точками куска поверхности.

Поверхности Безье, также как и кривые, обладают свойством выпуклых оболочек.

При соединении двух кусков поверхностей для выполнения условия непрерывности необходимо равенство четырех управляющих точек, принадлежащих общим ребрам кусков. Кроме того, для достижения непрерывности касательного вектора требуется, чтобы две четверки управляющих точек, лежащих по обеим сторонам общего ребра были коллинеарны (лежали на одной прямой) четверке управляющих точек общего ребра и друг другу. Отношения длин коллинеарных отрезков должны быть постоянными.

Куски в форме В-сплайнов представляются в виде:

Шестнадцать управляющих точек задают кусок поверхности, находящийся около четырех центральных точек Р₂₂, Р₂₃, Р₃₂ и Р₃₃.