Раздел 2. Колебания математического маятника.

В предлагаемых ниже задачах ускорение свободного падения

вблизи Земли считайте равным 10 м/с².

1. Определите длину маятника, совершающего в земных условиях колебания с частотой 0,5 Гц.

2. (д) Определите циклическую частоту колебаний маятника длиной 2 м на Луне. Ускорение свободного падения на Луне в 6 раз меньше, чем на Земле.

3. Н а пути колеблющегося маятника длиной 2 м имеется препятствие. Оно расположено под точкой подвеса, на расстоянии, равном половине длины маятника, от этой точки (см. рис.). Найдите период колебаний маятника в данных условиях.

4. (д) На пути колеблющегося маятника имеется препятствие. Оно расположено под точкой подвеса, на расстоянии, равном четверти длины маятника, от точки равновесного положения маятника. Период колебаний маятника в данных условиях равен T. Найдите полную длину маятника.

5. Период колебаний первого маятника равен 1 с, второго – 0,7 с. Длина третьего маятника равна разности длин первого и второго маятников. Какой из маятников длиннее: первый или второй? Определите период колебаний третьего маятника.

6. (д) Период колебаний первого маятника равен 1 с, второго – 2 с. Длина третьего маятника равна сумме длин первого и второго маятников. Какой из маятников длиннее: первый или второй? Определите период колебаний третьего маятника.

7. За одинаковое время один маятник совершил 15 колебаний, а другой – 10.

8. Маятник массой m = 50 г, способный колебаться с периодом T = 1,5 с, отвели в сторону так, что он приподнялся на h₀ = 5 см, и отпустили. Определите максимальную скорость v₀ маятника при колебаниях.

9. (д) Маятник массой 30 г, способный колебаться с частотой 0,5 Гц, отвели в сторону и отпустили. Максимальная скорость маятника при начавшихся колебаниях составляет 0,5 м/с. На какую высоту был поднят маятник для начала колебаний?

10. Маятник, способный колебаться с частотой 0,5 Гц, отклонили в сторону на угол 30 и отпустили. Определите максимальную скорость маятника при колебаниях и скорость маятника на высоте поднятия, равной половине максимального значения.

11. (д) Определите период колебаний маятника длиной l, если он, совершая колебания в условиях неизвестной планеты, после отклонения на угол ₀ от положения равновесия, проходит это положение со скоростью v₀.

Раздел 3. Гармонические колебания.

В предлагаемых ниже задачах, если нет особых указаний, считайте, что координата тела изменяется по закону косинуса

1. Составьте уравнение координаты гармонически колеблющегося тела, если амплитуда колебаний равна 5 см, начальная фаза составляет 45, и при этом за 60 секунд совершается 150 колебаний.

2. (д) Составьте уравнение координаты гармонически колеблющегося тела, если максимальная скорость тела при колебаниях составляет 2 м/с, частота колебаний - 0,8 Гц, а начальная фаза равна 30.

3. Составьте уравнение скорости гармонически колеблющегося тела, если максимальное значение ускорения тела равно 10 м/с², период колебаний составляет 0,8 с, а начальная фаза нулевая.

4. (д) Составьте уравнение ускорения гармонически колеблющегося тела, если амплитуда колебаний равна 10 см, начальная фаза равна -45, а за 10 секунд совершается 15 колебаний.

5. Гармонические колебания происходят по закону: x = 0,1cos(10t-/6). Определите амплитуду, циклическую частоту и начальную фазу колебаний. Составьте уравнения скорости и ускорения тела. Найдите координату, скорость и ускорение колеблющегося тела через 2 с после начала колебаний.

6. (д) Скорость тела изменяется по закону: v = -0,5sin(4t+/3). Составьте уравнения координаты и ускорения тела. Найдите координату, скорость и ускорение тела спустя 0,5 с после начала колебаний.

7. И спользуя приведенные ниже графики изменения координаты, для каждого из тел найдите период, частоту и циклическую частоту колебаний. Определите максимальное значение скорости тела и ускорения. Составьте уравнение координаты без начальной фазы.

8. (д) Используя приведенные ниже графики изменения координаты, для каждого из тел найдите период, частоту и циклическую частоту колебаний. Определите максимальное значение скорости тела и ускорения. Составьте уравнение координаты без начальной фазы.

9. Постройте качественно в одной координатной системе сравнительные графики колебаний, происходящих по следующим законам:

1. x = x₀ cos t

2. x = 2x₀ cos t

3. x = 0,5x₀ cos t

4. x = x₀ cos 2t

5. x = x₀ cos 0,5t

6. x = 2x₀ cos 0,5t

10. (д) Постройте качественно в одной координатной системе сравнительные графики колебаний, происходящих по следующим законам:

1. x = x₀ sin t

2. x = 3x₀ sin t

3. x = 1,5x₀ sin t

4. x = x₀ sin 1,5t

5. x = x₀ sin 0,75t

6. x = 2x₀ sin 1,5t

11. Постройте графики координаты тел по следующим уравнениям:

12. (д) Постройте графики координаты тел по следующим уравнениям:

13. Имеются две одинаковые колебательные системы типа «груз на пружине». Сначала оба груза находились в состоянии покоя. Грузы выводят из положения равновесия одновременно, но разными способами. Первый груз оттягивают на 5 см и отпускают, а второму сообщают скорость 1 м/с. Амплитуды начавшихся колебаний грузов одинаковы. Составьте уравнения координаты и скорости для каждого из тел. Постройте графики зависимости этих величин от времени.

14. (д) Имеются две горизонтальные системы типа «груз на пружине». Сначала грузы находились в покое. Их выводят из положения равновесия одновременно, но по-разному. Первый груз смещают вправо на 2 см и отпускают, а второй – влево на 2 см и отпускают. Составьте уравнения координаты и скорости для каждого из тел. Постройте графики зависимости этих величин от времени.

15. Начальная фаза гармонических колебаний равна /6, за время  = 12 секунд в системе совершается N = 5 колебаний. Найдите первый из моментов времени, когда координата колеблющегося тела ,

где x₀ – амплитудное значение координаты. Составьте уравнение для всех моментов времени, когда координата тела равна указанному значению.

16. (д) Начальная фаза гармонических колебаний равна нулю, период колебаний составляет 24 с. Найдите первый из моментов времени, когда координата колеблющегося тела равна половине амплитудного значения. Составьте уравнение для всех моментов времени, когда координата тела равна половине амплитудного значения.

17. Начальная фаза колебаний тела равна 0, амплитуда – 5 см, период колебаний – 2 с. Определите первый из моментов времени, когда смещение груза равно 2,5 см и найдите скорость колеблющегося тела в этой точке.

18. (д) Начальная фаза колебаний груза на пружине равна 30, амплитуда – 10 см, частота – 1 Гц. Определите ускорение груза в точке, соответствующей смещению от положения равновесия, равному половине амплитудного значения.

19. Груз массой 200 г колеблется на пружине. Период колебаний составляет 4 с, а амплитуда колебаний – 6 см. Определите амплитудные значения скорости и ускорения колеблющегося тела. Найдите коэффициент жесткости пружины.

20. (д) Масса пассажирского вагона m = 54 т, а общая жесткость рессор k = 2,13 МН/м. Составьте уравнение вертикальных колебаний y(t) вагона на рессорах, если начальная фаза колебаний равна нулю, а максимальная скорость вертикальных колебаний v₀ = 0,31 м/с.

21. Найдите модуль амплитудного значения ускорения математического маятника длиной l = 1 м, совершающего колебания с амплитудой (максимальное отклонение по горизонтали) x₀ = 2 см.

22. (д) Математический маятник колеблется с амплитудой x₀ = 4 см. При этом положение равновесия маятник проходит со скоростью v₀ = 0,2 м/с. Найдите длину l маятника.

23. Груз массой 100 г совершает колебания на пружине по закону: . Определите амплитудное значение силы, вызывающей колебания, и величину полной механической энергии колебательной системы.

24. (д) Груз массой 180 г совершает колебания на пружине. Сила, вызывающая колебания, изменяется по закону: F = 1,5cos2t. Составьте уравнение координаты x(t) колеблющегося тела. Найдите коэффициент жесткости пружины.