Машина Тьюринга.

В 1936 г. английский математик Алан Тьюринг опубликовал статью «О вычислимых числах», в которой для уточнения понятия алгоритма использовал абстрактную математическую конструкцию, впоследствии названную машиной Тьюринга.

М ашина Тьюринга состоит из бесконечной ленты, разбитой на клетки (ячейки) равной величины. В каждой ячейке может быть записана в точности одна буква. Пустая ячейка означает наличие в ней пустой буквы. Для передвижения ленты машина снабжена простым лентопротяжным механизмом, который позволяет передвигать ленту на одну ячейку влево или вправо. Для того чтобы считать написанный на ленте символ и записать его на ленту, машина Тьюринга снабжена головкой чтения - записи. При этом головка за один прием может прочитать только одну букву, написанную на той ячейке ленты, которая расположена под головкой. Чтение буквы не заменяет того, что написано в ячейке

Ячейка

Логический блок

Бесконечная лента

Головка чтения-записи

Основной частью машины Тьюринга является логический блок, на котором имеется кнопка запуска. При ее нажатии логический блок принимает исходное состояние и начинает работать:

1. он заставляет головку прочитать букву, которая находится на ленте под головкой;

2. в зависимости от прочитанной буквы и того состояния, в котором находится он сам, логический блок может:

1. записать на ленте в той клетке, находящейся под головкой, некоторую букву;

2. передвинуть ленту влево, вправо или оставить на месте;

3. изменить свое собственное состояние;

   3. если в результате действий, указанных в пункте 2, буква, расположенная под головкой, положение ленты и состояние логического блока машины останутся такими же, какими они были непосредственно перед выполнением этих действий, тогда машина останавливается. Во всех остальных случаях логический блок возвращается к выполнению пункта 1.

Итак, мы имеем:

1. некий алфавит Р={р_о,…, p_i, ..., р_n}, содержащий буквы, которые могут быть записаны на ленте. Этот алфавит называется алфавитом машины Тьюринга;

2. алфавит А={a₁, a₂, …, a_m}, содержащий состояния, в которых может находиться логический блок;

3. алфавит D={d_-1, d₀, d1}, предназначенный для обозначения движения ленты влево или вправо и остановки ленты.

Помним, что алфавитом мы называем совокупность упорядоченных в определенном смысле символов в данном языке или системе. Эти символы называются буквами. Только символы, принадлежащие данному алфавиту, могут использоваться для построения слов.

Опишем поведение машины Тьюринга при выполнении логическим блоком пункта 2, в соответствии с приведенными обозначениями.

Если головка читает букву p_i, и блок находится в состоянии a_i, то поведение машины определяется записью p_xd_ya_z, которая соответствует командам:

• записать на ленте вместо буквы p_i букву р_х;

• совершить перемещение ленты d_y;

• перейти логическому блоку в состояние a_z.

Очевидно, что от реакции на сочетание p_i, a_j для i≠j будет зависеть работа машины Тьюринга. Реакцию машины на сочетания p_i, a_j можно представить в виде таблицы, в клетках которой стоят тройки символов вида p_xd_ya_z.

	a1	a2	…	az	…	am
p0
p1
…
px				pxdyaz
…
pn

Если записать на ленте некоторое слово в алфавите Р и нажать кнопку запуска, то в результате работы машины возможны два исхода:

• работа машины после конечного числа шагов прекратится. При этом слово, записанное на ленте, будем называть результатом ее работы, т.е. машина применима к исходным данным;

• машина никогда не остановится, т.е. результат: машина никогда не выдаст и не применима к исходным данным.

Соответствие, устанавливаемое машиной Тьюринга между теми исходными данными, к которым она применима, и результатами ее работы, представляет некоторую целочисленную неотрицательную функцию f(x).

Пусть задана функция f(x)=х+1, при х≥0. Построить машину Тьюринга, реализующую эту функцию.

Решение:

1) введем условные обозначения и определим исходное состояние ленты:

a) значения х будем записывать на ленте в виде строки, состоящей из единиц, а пустые клетки будем обозначать нулями;

b) расположим ленту так, чтобы самая левая единица находилась под головкой;

c) переведем логический блок в исходное состояние a_i;

2) проанализируем работу логического блока:

a) если в состоянии a_i головка считает символ 1, то нужно, чтобы логический блок снова записал в эту ячейку 1, ленту продвинул на одну позицию влево и сам остался в прежнем состоянии a_i;

b) если в состоянии a_i головка считает символ 0, то логиче­ский блок должен записать в эту ячейку 1, ленту оставить в этой же позиции и сам перейти в состояние а₂;

c) находясь в состоянии a₂ и при считывании головкой символа 1, логический блок должен снова записать в эту клетку 1, ленту не перемещать и оставаться в состоянии а₂. При этом машина остановится;

3) построим функциональную таблицу машины Тьюринга, вычисляющей значение функции f(х)= х+1, при х≥0:

	A1	a2
0	1d0a2
1	1d1a1	1d0a2

4) проиллюстрируем работу машины Тьюринга при х =2: