Лекция 2. Основные теоремы теории вероятностей случайных событий

Определение вероятности события по классической формуле и с помощью статистического определения не всегда удобно, а иногда и невозможно. Например, чрезвычайно громоздко определять вероятность появления цепочки лингвистических элементов: букв, слогов, слов и т.п. по классической формуле, а определить вероятность появления в речи звука определённой частоты по классической формуле невозможно. Цепочка языковых элементов представляет собой сумму или произведение лингвистических событий, вероятность каждого из которых уже известна (статистическая вероятность). Для нахождения вероятности цепочки лингвистических событий применяют теоремы сложения или умножения вероятностей.

2.1. Действия над событиями

С

А

В

умма двух или нескольких событий ‑ это событие,

которое заключается в появлении хотя бы одного из этих событий.

Пример. Суммой событий А=«на игральной кости выпало меньше 3 очков» и В= «на игральной кости выпало 2 или 3 очка» будет событие А+В =«на игральной кости выпало 1, или 2, или 3».

П

А

В

роизведение двух или нескольких событий ‑

это событие, которое заключается в появлении всех данных событий вместе.

Пример. Произведением событий А= «на игральной кости выпало меньше 3 очков» и В= «на игральной кости выпало 2 или 3 очка»

будет событие А В =«на игральной кости выпало 2 очка».

Пример. Пусть событие М = «выбранное слово ‑ имя существительное», событие D = «выбранное слово является подлежащим», тогда М+D = «выбранное слово является существительным, но не подлежащим, или подлежащим, но не существительным или и тем и другим»; М D = «выбранное слово является и существительным и подлежащим».

2.2. Вероятность суммы событий

Т.1.1. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения.

Т.1.2. Если А и В – несовместные, то , тогда вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий

Теорема 1.2. верна для конечного числа несовместных событий.

Пример. Подбрасываются две игральные кости. Найти вероятность выпадения 6 очков хотя бы на одной.

Решение. Пусть событие А = « выпало 6 на первой», В = «выпало 6 на второй». Тогда А+В = «выпало 6 хотя бы на одной».

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ), т.к. А и В- совместные события.

Р(А+В)=1/6+1/6-1/36=11/36.

Ответ: вероятность выпадения хотя бы одной шестёрки равна11/36.

Следствия из теоремы сложения

_{Следствие 1.} Пусть события А₁, А₂, …, А_n образуют полную группу, тогда

Сумма вероятностей событий, образующих полную группу равна 1.

Пример. Японская фирма – производитель фототехники, получает заказы из Европы на трёх языках: немецком, английском и французском. Для определения количества сотрудников определённого профиля, фирме требуется найти вероятность поступления заказа на французском языке, если вероятность заказа на английском равна 0,7, а на немецком – 0,2.

Решение. События А=« поступление заказа на английском языке», В=« поступление заказа на немецком языке» и С=« поступление заказа на французском языке» образуют полную группу событий. По следствию 1, Р(А)+Р(В)+Р(С)=1, Р(С)=1-Р(А)-Р(В), Р(С)=1-0,7-0,2=0,1.

Следствие 2.

_Если - противоположные события, то они образуют полную группу, тогда по следствию (1): →

Пример. Вероятность того, что нужная книга будет найдена в электронной библиотеке, равна 0,82, тогда, по следствию 2, вероятность того, что книга не будет найдена, равна 1-0,82=0,18.