Часть 2. Вопросы и задания для практических работ.

Практическое занятие 1

1. Элементы комбинаторики

Цель: Научится решать простейшие комбинаторные задачи лингвистического содержания на нахождение числа перестановок, сочетаний, размещений с повторениями и без повторений.

Теоретические вопросы

1. Определение комбинаторики, как раздела математики. Применение комбинаторики к решению лингвистических задач.

2. Правила сложения и умножения.

3. Основные понятия комбинаторики:

а) размещение, число размещений из n элементов по m (m n), размещения с повторениями;

б) перестановка, число перестановок из n элементов; перестановки с повторением;

в) сочетание, число сочетаний из n элементов по m (m n), сочетания с повторением.

Практические задания.

1). Из 30 букв русского алфавита (исключая ь, ъ, й) необходимо выбрать 2 для кодирования некоторой информации. Сколько имеется возможностей такого выбора, при условии, что

а) буквы кода не повторяются;

б) код может содержать одинаковые буквы?

2). В школе 5 классов на одной параллели. Сколько существует

способов присвоения каждому классу заглавной буквы из первых пяти букв русского алфавита?

3). Определите число перестановок с повторениями, которые можно получить из букв, составляющих слово ФИЛОЛОГИЯ.

4). Сколькими способами можно рассадить учеников класса, если в классе 24 ученика, и за каждой партой должно сидеть 2 человека?

5). Из слов предложения «Сегодня моросит дождь» составляют двухсловные предложения. Сколько таких предложений можно составить?

6). Сколькими способами можно выбрать 3 согласных и 2 гласных буквы из алфавита русского языка для формирования 5-буквенного «слова»?

7). Сколько перестановок можно составить из всех букв слова «ЛОГИКА», в которых на первом месте стоит буква «Л», а на последнем «А»?

Дополнительные задания.

8). Из букв слова «МАТЕРИЯ» составляют 4-буквенные «слова» (буквы в «слове» не повторяются). Сколько таких «слов» …

а) начинаются с буквы М; б) начинаются с буквы А, а заканчиваются на Я; в) не начинаются с буквы Т?

9. Сколькими способами можно расставить буквы слова ФОНЕТИКА так, чтобы

а) две буквы Н и Е оказались рядом? б) не оказались рядом?

Формулы комбинаторики
Число размещений из	Число перестановок из n элементов	Число сочетаний из
Число размещений с повторениями	Число перестановок с повторениями, (где -количество одинаковых элементов в i – той группе)	Число сочетаний с повторениями

2. Начальные понятия теории вероятностей.

Теоретические вопросы

1. Предмет теории вероятностей, применение теории вероятностей в лингвистике.

2. Начальные понятия теории вероятностей:

а) испытание; б) событие: случайное, достоверное, невозможное;

в) совместные и несовместные события; г) элементарные события;

д) событие, благоприятное событию А; е) полная группа событий, пространство элементарных событий; ж) противоположные события; з) равновозможные события.

3. .Классическое определение вероятности. Свойства вероятности.

4. .Статистическое определение вероятности

Практические задания.

1). Из карточек разрезной азбуки составлено слово «ЭНЦИКЛОПЕДИЯ». Карточки перемешивают и произвольно выбирают одну из них.

а) Приведите пример: достоверного, невозможного и случайного события, совместных и несовместных событий, противоположных событий; элементарных и неэлементарных событий; равновозможных событий, которые могут произойти при данном испытании.

б) Перечислите события, которые образуют полную группу событий, пространство элементарных событий.

в) Найдите события, благоприятные событиям А=«Извлечена карточка с глухой согласной буквой», В=«появилась гласная буква».

г) Найдите вероятность событий: «извлекли карточку с буквой Н»; «извлекли карточку с буквой И»; «извлекли карточку с гласной буквой»; «извлекли карточку с буквой А»; «извлекли карточку с гласной или согласной буквой».

2). Опыт состоит в угадывании буквы после цепочки букв КОТОРО... Назовите события, образующие полную группу.

3). При условии, что в задаче №1 извлекается произвольно 3 карточки, найдите вероятность событий:

М - « все извлечённые карточки с гласными буквами»;

Q - «извлечено 2 карточки с гласными буквами и одна с согласной».

4). При исследовании прозы Пушкина и Лермонтова обнаружено, что на каждые 500 знаменательных слов у Пушкина приходится около 26 простых самостоятельных предложений, а у Лермонтова – 11. Найдите относительную частоту употребления простых предложений у Пушкина и Лермонтова. [Головин, 1971, с. 141]

Где – классическая вероятность события А, n – число равновозможных, несовместных событий (исходов), которые могут произойти при данном испытании; m – число событий, благоприятных событию А (из n)

n – число независимых одинаковых испытаний; m – количество появлений события А в n испытаниях. - статистическая вероятность события А

Практическое занятие 2.

Основные теоремы теории вероятностей

Цель: научиться использовать основные формулы теории вероятностей для нахождения вероятностей лингвистических событий.

Теоретические вопросы:

1. Операции над событиями: сложение и умножение событий.

2. Теорема сложения вероятностей для совместных и несовместных событий.

3. Следствия из теорем сложения вероятностей.

4. Зависимые и независимые события.

5. Условная вероятность

6. Вероятность произведения зависимых и независимых событий.

7. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

8. Независимые испытания. Теорема Бернулли.

Практические задания:

1). Три студента решают задачу. Событие А = «задачу решил первый студент»; В = «задачу решил второй студент»; C = «задачу решил третий студент».Выразить через А, В, С события:

D= «все студенты решили задачу»;

Е= «задачу решил только первый студент»;

F = «задачу решил хотя бы один студент»;

К= «задачу решил только один студент»;

М = «ни один студент не решил задачу».

2). В корзине розы разных цветов. Произвольно извлекают две розы.

Событие А ={выбрана красная роза}; В = {выбрана белая роза}.

Что означают события:

3). Вероятность появления простого самостоятельного предложения в текстах Н.М. Карамзина равна 0,065, а в текстах А.С. Пушкина – 0,132. Из текстов каждого автора извлекается по одному предложению. Найти вероятность событий: а) «оба предложения простые»; б) «хотя бы одно предложение простое»; в) «одно из предложений простое»; г) «оба предложения не являются простыми».

4). Слово «МАТЕМАТИКА» составлено из букв разрезной азбуки. Карточки с буквами этого слова положены в урну.

Найти вероятность события А=«Получится слово МАТЕМАТИКА», если: а) последовательно извлекается карточка с буквой и возвращается обратно (безусловная вероятность); б) карточка с буквой извлекается и не возвращается обратно (условная вероятность).

5). Имеется английский научно-технический текст общей длиной в 400 тыс. словоупотреблений (около тысячи стандартных страниц). По тематике этот текст распадается на следующие 4 выборки разной длины: радиоэлектроника – 200 тыс. словоупотреблений; автомобилестроение – 100 тыс.; судовые механизмы – 50 тыс.;

n	200 000	100000	50000	50000
m	98	57	9	19

строительные материалы. – 50 тыс..

Словоформа ‘machine’ встретилась

в 1-й выборке-98 раз, во 2-й -57, в 3-й – 9, в 4-й – 19 раз.

• Определить вероятность того, что извлечённое наугад из данного текста словоупотребление будет словоформой ‘machine’.

• Пусть наугад извлечённая словоформа в выборке оказалась словоформой ‘machine’. Найти вероятность того, что эта словоформа извлечена из текста а) по электронике, б) по автомобилестроению; в) по судовым механизмам; г) по строительным материалам.

6). Вероятность появления имени существительного в румынских текстах по электронике равна 0,59 (статистическая вероятность). Найдите вероятность того, что из 5 произвольно выбранных слов из румынского текста по электронике… а) ровно 2 будут существительными, б) более двух будут существительными.

7). Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,75. Сколько независимых выстрелов необходимо произвести, чтобы вероятность поражения мишени была больше 0,95?

Практическое занятие 3 Случайные величины.

Цель: для простейших лингвистических величин научиться находить закон распределения, функцию распределения, функцию плотности распределения вероятности, числовые характеристики.

Теоретические вопросы

1. Понятие случайной величины (СВ).

2. Дискретные и непрерывные случайные величины. Примеры лингвистических случайных величин.

3. Закон распределения, многоугольник распределения дискретных случайных величин (ДСВ).

4. Функция распределения случайных величин (интегральная функция распределения) и её свойства.

5. Функция плотности распределения (плотности вероятности) непрерывной случайной величины (НСВ) (дифференциальная функция распределения). Свойства функции плотности распределения.

6. Числовые характеристики случайных величин (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение) и их свойства.

7. Виды распределения случайных величин: биномиальное распределение, распределение Пуассона для ДСВ, нормальное распределение, логнормальное распределение для НСВ.

8. Система двух СВ. Независимые СВ. Закон распределения независимых случайных величин.

Практические задания:

Х	0	1	2
Р	0,2	0,5	0,3

1) Найдите математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение σ(Х) случайной величины Х, если закон её распределения задан таблицей:

2). Производится извлечение трехсловных словосочетаний из научно-технических текстов. Именной группой считается словосочетание, в котором существительное стоит на последнем месте. Считая, что вероятность употребления существительного в научно-техническом тексте равна 0,4, а) составить закон распределения СВ Х ‑ «число именных групп при одновременном извлечении двух словосочетаний»; б) определить среднее квадратическое отклонение случайной величины Х; в) найти функцию распределения F(x) и построить её график.

3). Примем, что средняя длина предложения в английских научно-технических текстах равна 10 словоформ. Относительная частота появления существительных в подъязыке английской электроники близка к 1/3(априорная вероятность). Считая появление отдельных словоформ в предложении независимыми событиями текста, найти математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(Х) случайной величины Х=«число словоформ в предложении научно-технического текста».

2. Вероятность появления конкретного слова в большом тексте мала. Например, вероятность появления словоформы «море» в сказках А.С. Пушкина равна 0,004.

а) найти вероятность того, что в отрывке из сказок А.С. Пушкина длиной 500 словоформ слово «море» появится 3 раза; появится больше 3-х раз.

б) найти М(Х) и D(Х) случайной величины X- «число словоформ «море» в тексте длиной 500 словоформ».

в) найти наивероятнейшее число появления словоформы «море» в тексте длиной 500 словоформ (наивероятнейшее число появления события х₀ определяется по формуле

5) Случайная величина X задана

функцией распределения

а) найти функцию плотности распределения вероятностей f(х);

б) построить графики функций f(x) и F(x);

в) определите вероятность попадания случайной величины X в интервалы (1; 2,5), (-∞ ; 0) и (5; ∞ ).

6) Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения вероятностей

а) Найдите закон распределения случайной величины Х?

б) Определите числовые характеристики М(Х), D(Х), σ(Х).

в) Постройте график функции плотности вероятности .

г) Найдите вероятность попадания случайной величины X в интервалы (-1; 3), (-∞ ;-1) и (2; ∞ ).

7) Найти закон распределения двумерной случайной величины Z=2X-3Y, если X и Y независимые СВ, а законы их распределений заданы таблицами:

Х -1 0 2 Р 0,1 0,2 0,7 Y	0	1
P	0,4	0,6

Практическое занятие №4.

Элементы математической статистики.

Цель: научится производить первичную обработку лингвистических данных, находить числовые характеристики выборки, оценивать по выборке параметры генеральной совокупности.

Теоретические вопросы

1. Предмет и основные задачи математической статистики, математической статистики. Статистические исследования в лингвистике.

2. Генеральная и выборочная совокупность. Объем выборки, объём генеральной совокупности.

3. Репрезентативность выборки. Виды выборок. Способы отбора.

4. Вариационный ряд. Частота и относительная частота вариант выборки. Дискретный статистический ряд. Полигон.

5. Интервальный статистический ряд. Гистограмма.

6. Числовые характеристики выборки: а) выборочное среднее;

б) выборочная дисперсия; в) исправленная выборочная дисперсия;

г) исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение.

7. Числовые характеристики вариационного ряда: мода, медиана, размах вариаций.

8. Статистическое оценивание неизвестных числовых характеристик случайных величин по выборке. Свойства статистических оценок.

9. Точечные оценки математического ожидания, дисперсии и вероятности по выборке.

10. Интервальная оценка параметров. Доверительный интервал, доверительная вероятность, уровень значимости. Доверительные интервалы для математического ожидания нормально распределённой генеральной совокупности.

Практические задания:

1). Для исследования распределения букв, передающих гласные, из русского газетного текста извлечено 10 газетных фрагментов по10 букв в каждом. При этом получен следующий неупорядоченный ряд появления гласных в каждом фрагменте: 4;4;4;5;3;4;5;6;4;3.

а) Представьте выборку в виде вариационного ряда.

б) Определите моду, медиану и размах вариаций выборки.

в) Постройте дискретный статистический ряд частот и относительных частот.

г) Постройте полигон относительных частот

д) Найдите числовые характеристики статистического распределения: среднее выборочное, выборочную дисперсию, исправленную выборочную дисперсию, исправленное среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение).

е) Определите по выборке наилучшие оценки математического ожидания М(Х) и дисперсии D(X) генеральной совокупности Х-частота гласных в русском публицистическом тексте.

2). При изучении Коми-Пермяцкого языка, выбрано 16 фрагментов по 100 словоупотреблений. Для каждого фрагмента найдено среднее значение длины слова. По результатам измерений получена выборка: 3,7; 5,2; 5,7; 6,2; 4,7; 4,2; 6,7; 7,2; 5,2; 6,2;4,7; 3,9; 5,8; 6,5; 5,1; 7,7. Постройте по выборке интервальный статистический ряд и гистограмму относительных частот.

3) Исследуются стихотворные тексты Николая Заболоцкого. Выбрали 10 фрагментов из стихов поэта по 100 словоупотреблений в каждой и нашли количество глаголов в каждом фрагменте. Получены следующие данные: 16; 20; 13; 15; 16; 14; 13;19; 12; 18.

При условии, что частота употребления глаголов рапределена по нормальному закону, определить абсолютную и относительную ошибку измерения среднего значения числа глаголов в стихотворных текстах Н. Заболоцкого и построить для истинного среднего значения 95% доверительный интервал.

4) Используя данные примера 3, определить, какое минимальное количество фрагментов из текстов стихов Н. Заболоцкого необходимо взять, чтобы а) абсолютная ошибка измерения среднего значения числа глаголов не превышала 2 с доверительной вероятностью 0,90; б) относительная ошибка измерения не превышала 5% с надёжностью 95%.

5) В молдавском публицистическом тексте длиной в 200 тыс. словоупотреблений встретилось 31286 глагольных форм. Определить с вероятность 95% доверительные границы вероятности появления во взятом тексте глагольгого словоупотребления.