1.2. Основные понятия теории вероятностей

Явления или события, которые происходят вокруг нас, имеют разную возможность (или то же самое, вероятность) появления. На практике нам постоянно приходится оценивать эту возможность. Например, возможность выигрыша в лотерее, в которой из 1 миллиона билетов, только 100 выигрышных, мала и мы вряд ли примем в ней участие, но мы попытаем счастье в праздничном розыгрыше, где из100 билетов 50 выигрышных, так как вероятность выигрыша здесь гораздо больше. Однако мы не можем сказать, что в первом случае мы обязательно проиграем, а во втором – выиграем, т.е. событие «выигрыш» является случайным (может произойти, а может не произойти) и предсказать положительный результат невозможно. Но среди случайных явлений при большом количестве испытаний наблюдаются закономерности, которые и изучает теория вероятностей.

Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности, присущие массовым случайным явлениям.

Предметом теории вероятностей являются математические модели случайных явлений.

Цель – осуществление прогноза в области случайных явлений.

«Познавательная ценность теории вероятностей обусловлена тем, что массовые случайные явления в своём совокупном действии создают строгие закономерности. Само понятие математической вероятности было бы бесплодно, если не находило бы своего осуществления в виде частоты появления какого-либо результата при многократном повторении однородных условий». (Из предисловия А.Н. Колмогорова к сочинению Я. Бернулли «О законе больших чисел»).

Теория вероятностей возникла в середине XVII века. Её возникновение связано с исследованиями Б. Паскаля, П. Ферма, Х. Гюйгенса в области теории азартных игр. Примеры из этой области широко используют и в настоящее время, так как для них легко строить математические модели. Становление теории вероятностей как математической науки принадлежит швейцарскому математику Я. Бернулли, доказавшему для простейшего случая важнейшее положение теории вероятностей – закон больших чисел (1713г.). Дальнейшее развитие теории вероятностей связано с именами А. Муавра, П. Лапласа, К. Гаусса, С. Пуассона.

Большой вклад в развитие теории вероятностей внесли русские учёные В.Я. Буняковский, П.Л. Чебышев, А.М. Ляпунов, А.А. Марков, А.Я. Хинчин, А.Н. Колмогоров, Б.В. Гнеденко и другие.

В настоящее время методы теории вероятностей и математической статистики являются наиболее значимыми для лингвистических исследований, применяются в различных видах лингвистического анализа: стилистическом, диахроническом, типологическом, в социолингвистике, психолингвистике, лексикографии и других.

Начальные понятия теории вероятностей

1. Опыт или испытание - совокупность условий, при которых данное событие может произойти.

Например, подсчёт простых предложений в тексте – это испытание, а обнаружение в тексте 56 простых предложений – это случайное событие.

Примеры испытаний: подбрасывание монеты или игральной кости, извлечение шара из урны с шарами, определение количества глаголов в фрагменте из стихов некоторого поэта и т.д.

2. Событие – исход испытания. События обозначаются большими латинскими буквами А, В, С, …

Событие может быть:

случайное – может произойти, а может и не произойти;

достоверное – произойдёт обязательно при данном испытании;

невозможное - никогда не произойдёт при данном испытании.

Примеры:

А=«появление буквы у после сочетания прыг» - случайное событие;

В=«появление буквы а или н или у после сочетания прыг» – достоверное событие; D=« появление буквы е после сочетания прыг» – невозможное событие; E=«в произвольно взятом отрывке текста данного автора длиной 100 словоформ содержится 12 глаголов» – случайное событие.

3. События называются несовместными, если наступление одного из них исключает появление любого другого. В противном случае события называются совместными.

Совместные события могут произойти вместе в одном испытании, несовместные – не могут произойти вместе.

Примеры:

А = «слово является глаголом» и В = «слово является сказуемым» при выборе из русского текста одного слова – совместные события;

К = «появилась буква д» и М= «появилась буква е» при выборе произвольно одной буквы русского алфавита – несовместные событие.

4. Равновозможные события – события, для которых нет оснований полагать, что одно из них более возможно, чем другое.

Примеры.

а) С=«на игральной кости выпало число 6» и D=«на игральной кости выпало число 1» – равновозможные события (исходя из предположения о симметричности игрального кубика);

б) при произвольном выборе словоформы из определённого текста все возможные события считаются равновозможными, так как каждая словоформа имеет одинаковую возможность быть выбранной;

в) Е=« выбрана буква к» и F=«выбрана буква д» при произвольном выборе буквы из русского текста не являются равновозможными, так как частота употребления этих букв различна.

5. Полная группа событий – совокупность несовместных событий, которые могут произойти при данном испытании, т.е. обязательно произойдёт только одно из этих событий. Для одного испытания можно представить несколько полных групп, в зависимости от цели выбора

Пример. Из карточек с буквами слова ЛИК произвольно извлекают одну. Тогда полную группу могут составить события:

а) «выбрана буква Л»; «выбрана буква И»; «выбрана буква К»;

б) «выбрана гласная буква», «выбрана согласная буква».

6. Элементарными событиями (исходами) называются исходы некоторого испытания, если они образуют полную группу и являются равновозможными. Элементарное событие – нельзя представить в виде суммы двух или нескольких событий.

Пример. Произвольно выбирается буква русского алфавита. Событие D=«выбрана буква Я» – элементарное событие; событие F=«выбрана гласная буква» можно представить в виде суммы 11 событий, следовательно, F не является элементарным событием.

7. Противоположные события - несовместные события, такие, что если одно из них не произошло, то обязательно произойдёт другое. По определению, образуют полную группу событий.

Пример. Из текста произвольно выбирают 3 слова. Событие А = «хотя бы одно из выбранных слов является местоимением», тогда

= «ни одно из выбранных слов не является местоимением» -противоположное событие.

8. Событие А благоприятно событию В, если всегда, когда произойдёт А, произойдёт и В.

Пример. Событие «выбрана буква Я» благоприятно событию «выбрана гласная буква».

Лингвистическое испытание - это наблюдение (опыт или измерение) за поведением и признаками изучаемых лингвистических объектов. Результатом лингвистического испытания является лингвистическое событие.

Например, испытание состоит в угадывании буквы, стоящей после сочетания «которо..». События, которые могут произойти: А={появилась буква е}, В={ появилась буква г}, С={появилась буква м}, Д={ появилась буква й}. Все данные события являются случайными, элементарными, несовместными, и образуют полную группу. Достоверное событие - появление буквы «о» после сочетания «которог..». Появление любой другой буквы – невозможное событие. Событие А={появилась буква у} и событие ={появился пробел} являются противоположными при угадывании буквы после цепочки «котором..» [Пиотровский, 1977, с.125].